Le carte della [tex]Q[/tex] di cuori sono molto preoccupate: non passa giorno che non si oda il grido ”Tagliategli la testa!”. Tengono anche un resoconto di quante esecuzioni capitali ci sono ogni giorno. Ultimamente hanno registrato questi dati:
[tex]d(2002)=11[/tex]
[tex]d(2006)=7[/tex]
[tex]d(2008)=5[/tex]
[tex]d(2009)=4[/tex]
[tex]d(2011)=2[/tex]
dove[tex]d(t) = h[/tex] è la funzione decapitazione e indica che sono state tagliate [tex]h[/tex] teste nel giorno [tex]t[/tex] del resoconto (un numero negativo indica persone graziate). Ultimamente le carte si sono rese conto che per uno schiribizzo della [tex]Q[/tex] di cuori, [tex]d[/tex] è un polinomio a coefficienti interi. Oggi è il giorno [tex]2013[/tex] del resoconto e [tex]Q[/tex] è molto nervosa per la partita di croquet, per cui il numero sarà inevitabilmente un intero positivo. Quante teste rotoleranno oggi come minimo?
SQUADRE FINALE 2013 N°19
Re: SQUADRE FINALE 2013 N°19
Provo a dare una soluzione anche se non sono sicurissimo.
Noto che per [tex]x=2002, 2006, 2008, 2009, 2011[/tex] posso scrivere [tex]\displaystyle d(x)[/tex] come [tex]\displaystyle d(x)=2013-x \rightarrow d(x)+x-2013=0 \rightarrow d(x)+x-2013=(x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)Q(x)[/tex] . So inoltre che [tex]Q(x)[/tex] deve avere coefficienti interi in quanto per ogni [tex]x[/tex] si deve avere un numero intero (la regina non puo' tagliare delle frazioni di teste)
sostituendo [tex]x=2013[/tex] viene [tex]\displaystyle d(2013)=3080*Q(2013)[/tex] . Per ipotesi dal testo so che [tex]d(2013)[/tex] deve essere intero positivo e il minimo si ha quando [tex]Q(2013)=1[/tex] , quindi la risposta dovrebbe essere [tex]d(2013)=3080[/tex]
spero sia giusta
Noto che per [tex]x=2002, 2006, 2008, 2009, 2011[/tex] posso scrivere [tex]\displaystyle d(x)[/tex] come [tex]\displaystyle d(x)=2013-x \rightarrow d(x)+x-2013=0 \rightarrow d(x)+x-2013=(x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)Q(x)[/tex] . So inoltre che [tex]Q(x)[/tex] deve avere coefficienti interi in quanto per ogni [tex]x[/tex] si deve avere un numero intero (la regina non puo' tagliare delle frazioni di teste)
sostituendo [tex]x=2013[/tex] viene [tex]\displaystyle d(2013)=3080*Q(2013)[/tex] . Per ipotesi dal testo so che [tex]d(2013)[/tex] deve essere intero positivo e il minimo si ha quando [tex]Q(2013)=1[/tex] , quindi la risposta dovrebbe essere [tex]d(2013)=3080[/tex]
spero sia giusta
Re: SQUADRE FINALE 2013 N°19
la risposta è corretta ma nn ti seguo da [tex]\displaystyle d(x)=2013-x \rightarrow d(x)+x-2013=0 \rightarrow d(x)+x-2013=(x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)Q(x)[/tex]
perchè si può scrivere[tex]d(x)+x-2013=(x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)Q(x)[/tex]
ero arrivato anche io che [tex]d(x)=2013-x[/tex], ma non ho capito come arrivi a [tex](x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)Q(x)[/tex]
puoi mettermi i passaggi intermedi e semai spiegarmelo pure?, non sono molto ferrato con i polinomi, ma vorrei imparare
perchè si può scrivere[tex]d(x)+x-2013=(x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)Q(x)[/tex]
ero arrivato anche io che [tex]d(x)=2013-x[/tex], ma non ho capito come arrivi a [tex](x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)Q(x)[/tex]
puoi mettermi i passaggi intermedi e semai spiegarmelo pure?, non sono molto ferrato con i polinomi, ma vorrei imparare
Re: SQUADRE FINALE 2013 N°19
I passaggi intermedi non ci sono 
In pratica si riscrive l'espressione $d(x)+x-2013=0$ (che vale solo per le $x$ che ci da il testo) in un polinomio valido per tutte le $x$ . $d(x)+x-2013$ deve valere zero per le x indicate sopra, ma non so quanto vale negli altri casi. Allora mi costruisco un'espressione che sia zero nei casi che ci vengono dati ma non negli altri, che e' appunto $(x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)q(x)$ . Mettere $q(x)$ e' necessario in quanto non puoi sapere se il polinomio che stai cercando e' solo $d(x)=(x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)+2013-x$ o qualcos'altro. Inoltre $q(x)$ non lo conosco (e non ho possibilita' di saperlo avendo solo le informazioni fornite), ma so che devo minimizzarlo. Da qui segue il commento sopra.
Spero di essere stato abbastanza chiaro!
Ps: questa e' una tecnica abbastanza standard che viene utilizzata a volte per la risoluzione di problemi simili.
ad esempio http://forum.olimato.org/polinomi-t917.html oppure http://forum.olimato.org/polinomio-che- ... -t537.html
In pratica si riscrive l'espressione $d(x)+x-2013=0$ (che vale solo per le $x$ che ci da il testo) in un polinomio valido per tutte le $x$ . $d(x)+x-2013$ deve valere zero per le x indicate sopra, ma non so quanto vale negli altri casi. Allora mi costruisco un'espressione che sia zero nei casi che ci vengono dati ma non negli altri, che e' appunto $(x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)q(x)$ . Mettere $q(x)$ e' necessario in quanto non puoi sapere se il polinomio che stai cercando e' solo $d(x)=(x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)+2013-x$ o qualcos'altro. Inoltre $q(x)$ non lo conosco (e non ho possibilita' di saperlo avendo solo le informazioni fornite), ma so che devo minimizzarlo. Da qui segue il commento sopra.Spero di essere stato abbastanza chiaro!
Ps: questa e' una tecnica abbastanza standard che viene utilizzata a volte per la risoluzione di problemi simili.
ad esempio http://forum.olimato.org/polinomi-t917.html oppure http://forum.olimato.org/polinomio-che- ... -t537.html
Re: SQUADRE FINALE 2013 N°19
Diciamo [tex]f(x) = d(x) + x - 2013[/tex], allora [tex]2002,2006,2008,2009,2011[/tex] sono radici di [tex]f(x)[/tex], quindi si ha [tex]f(x) = (x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)q(x)[/tex] dove [tex]q(x)[/tex] è un altro polinomio a coefficienti interi.gillg ha scritto:la risposta è corretta ma nn ti seguo da [tex]\displaystyle d(x)=2013-x \rightarrow d(x)+x-2013=0 \rightarrow d(x)+x-2013=(x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)Q(x)[/tex]
perchè si può scrivere[tex]d(x)+x-2013=(x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)Q(x)[/tex]
ero arrivato anche io che [tex]d(x)=2013-x[/tex], ma non ho capito come arrivi a [tex](x-2002)(x-2006)(x-2008)(x-2009)(x-2011)Q(x)[/tex]
puoi mettermi i passaggi intermedi e semai spiegarmelo pure?, non sono molto ferrato con i polinomi, ma vorrei imparare
Ora però ho io un dubbio, visto che dal solito [tex]a-b | p(a)-p(b)[/tex] se [tex]p(x)[/tex] ha coefficienti interi si arriva a dire che [tex]11,7,5,4,2[/tex] dividono tutti [tex]p(2013)[/tex], perchè non va bene [tex]1540[/tex] come soluzione?
Re: SQUADRE FINALE 2013 N°19
Secondo me è per il fatto che se $d(2013)=1540$ allora $q(2013)=\dfrac{1}{2}$ che è impossibile in quanto ha coefficienti interi
Re: SQUADRE FINALE 2013 N°19
si giusto i coefficienti sono interi quindi il minimo è [tex]q(x)=1[/tex]
cmq grz siete stati chiarissimi, mi sono guardato anche i link che mi avete messo e mi sono stati molto utili, se conoscete esercizi sui polinomi mi dite dove posso prenderli che mi vorrei esercitare. grz ancora
cmq grz siete stati chiarissimi, mi sono guardato anche i link che mi avete messo e mi sono stati molto utili, se conoscete esercizi sui polinomi mi dite dove posso prenderli che mi vorrei esercitare. grz ancora
Re: SQUADRE FINALE 2013 N°19
Divertiti: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
Sono in ordine sparso.
Poi ci sarebbe questa cosa che scrissi tempo fa sui polinomi e di cui mi vergogno: troppo scolastica (nel vero senso della parola - noiosa, non formale, probabilmente sbagliata in più punti e priva di ciò che realmente dovrebbe interessare un concorrente delle Olimpiadi
)
Sono in ordine sparso.
Poi ci sarebbe questa cosa che scrissi tempo fa sui polinomi e di cui mi vergogno: troppo scolastica (nel vero senso della parola - noiosa, non formale, probabilmente sbagliata in più punti e priva di ciò che realmente dovrebbe interessare un concorrente delle Olimpiadi
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