Un rapporto reale

[Drago]

Dato un polinomio $p(x)=x^2+px+q^2$ con $p,q\in\mathbb C$, dimostrare che se le due radici hanno lo stesso modulo, allora $\displaystyle\frac p q\in\mathbb R$

[Lasker]

$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q^2}}{2}$
Se le due radici fossero coincidenti ($\longrightarrow\Delta=0$),
$p^2-4q^2=0$
$p^2=4q^2$
$\frac{p^2}{q^2}=4$
$\frac{p}{q}=\pm 2$ $\longrightarrow$ $2 \in \mathbb{Q}$
L' altra possibilità (ovvero$x_1=-x_2$) si verifica se
$x_1 x_2=q^2$
$x_1+x_2=-p$
Ma
$x_1+x_2=0$
$x_1x_2=-x_1^2$
Allora:
$\frac{p^2}{q^2}=\frac{0^2}{-x_1^2}$, da cui $\frac{p}{q}=0$, se $x_1\ne 0$ e $x_2 \ne 0$

Non ho però ben chiaro un caso... e se $p=q=x_1=x_2=0$? considero $0/0 \in \mathbb{R}$?

[afullo]

Attenzione che in campo complesso avere lo stesso modulo non significa necessariamente essere uguali od opposti...

[Lasker]

Acc... devo porre

$|x_1|=\sqrt{a^2+b^2}$
$|x_2|=\sqrt{a^2+b^2}$
E tentare la stessa strada?
Oppure devo cercare un altro approccio al problema?

[afullo]

Prova a pensare alla radice del delta che da' un contributo nella stessa direzione di p.