Un rapporto reale
Un rapporto reale
Dato un polinomio $p(x)=x^2+px+q^2$ con $p,q\in\mathbb C$, dimostrare che se le due radici hanno lo stesso modulo, allora $\displaystyle\frac p q\in\mathbb R$
Re: Un rapporto reale
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q^2}}{2}$
Se le due radici fossero coincidenti ($\longrightarrow\Delta=0$),
$p^2-4q^2=0$
$p^2=4q^2$
$\frac{p^2}{q^2}=4$
$\frac{p}{q}=\pm 2$ $\longrightarrow$ $2 \in \mathbb{Q}$
L' altra possibilità (ovvero$x_1=-x_2$) si verifica se
$x_1 x_2=q^2$
$x_1+x_2=-p$
Ma
$x_1+x_2=0$
$x_1x_2=-x_1^2$
Allora:
$\frac{p^2}{q^2}=\frac{0^2}{-x_1^2}$, da cui $\frac{p}{q}=0$, se $x_1\ne 0$ e $x_2 \ne 0$
Non ho però ben chiaro un caso... e se $p=q=x_1=x_2=0$? considero $0/0 \in \mathbb{R}$?
Se le due radici fossero coincidenti ($\longrightarrow\Delta=0$),
$p^2-4q^2=0$
$p^2=4q^2$
$\frac{p^2}{q^2}=4$
$\frac{p}{q}=\pm 2$ $\longrightarrow$ $2 \in \mathbb{Q}$
L' altra possibilità (ovvero$x_1=-x_2$) si verifica se
$x_1 x_2=q^2$
$x_1+x_2=-p$
Ma
$x_1+x_2=0$
$x_1x_2=-x_1^2$
Allora:
$\frac{p^2}{q^2}=\frac{0^2}{-x_1^2}$, da cui $\frac{p}{q}=0$, se $x_1\ne 0$ e $x_2 \ne 0$
Non ho però ben chiaro un caso... e se $p=q=x_1=x_2=0$? considero $0/0 \in \mathbb{R}$?
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
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Re: Un rapporto reale
Attenzione che in campo complesso avere lo stesso modulo non significa necessariamente essere uguali od opposti...
Re: Un rapporto reale
Acc... devo porre
$|x_1|=\sqrt{a^2+b^2}$
$|x_2|=\sqrt{a^2+b^2}$
E tentare la stessa strada?
Oppure devo cercare un altro approccio al problema?
$|x_1|=\sqrt{a^2+b^2}$
$|x_2|=\sqrt{a^2+b^2}$
E tentare la stessa strada?
Oppure devo cercare un altro approccio al problema?
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Re: Un rapporto reale
Prova a pensare alla radice del delta che da' un contributo nella stessa direzione di p.