Indovina il polinomio!

[Drago]

Io ho un polinomio $p(x)$ a coefficienti interi positivi e voi dovete indovinarlo; per indovinarlo potete dirmi un intero $n$ ed io vi dirò l'intero $p(n)$.

Il problema è: trovare il numero minimo di domande che dovete farmi per individuare il polinomio con esattezza.

[Lasker]

Possiamo escludere, dai dati del problema, che $P(x)$ sia un monomio?
In caso di risposta affermativa, credo siano sufficienti due domande, io procederei così:
$1)$ Per prima cosa, chiederei il valore $P(1)$, per conoscere la somma dei coefficienti (è fondamentale osservare che, poiché tutti i coefficienti sono positivi, $P(1)$ è strettamente maggiore di ciascuno di essi).
... continua dopo la risposta

[Drago]

Vediamo la continuazione...
In realtà si aggiustano anche i casi in cui il polinomio è un monomio, basta avere una piccola accortezza (del resto come hai fatto notare tu l'importante è che $p(1)$ è maggiore di ogni coefficiente)

[Lasker]

$2)$
Dopo aver scoperto che $P(1)=k$ per un qualche $k \in \mathbb{N}$ ($k$ è ovviamente noto), basta richiedere $P(k)$.
Il valore di $P(k)$, scritto in base $k$, dà "magicamente" tutti i coefficienti di $P(x)$!
Questo accade per via della notazione posizionale di un numero in una certa base...è proprio un polinomio con i coefficienti tutti positivi (o nulli), e la sua scrittura in quella base è unica.

[Drago]

Grande!
Ora, come puoi aggiustare il polinomio che in realtà è un monomio?

[Lasker]

Credo di aver aggiustato il caso del monomio!
Se $P(x)$ fosse un monomio, nella scrittura in base $k$ mi ritroverei un solo coefficiente diverso da $0$...
ovviamente, da questa informazione posso capire sia il grado ("contando" gli zeri e sottraendone uno) che il coefficiente (è proprio $P(1)$!), e dunque ho scoperto $P(x)$!
Bel problema, proprio simpatico