Sta volta è una disuguaglianza

[Drago]

Il fatto è che gli esponenti dipendono dalle variabili...
Nel senso, non puoi confrontare una cosa che varia con una cosa fissa...
Cerco di spiegarmi meglio:
Fare la somma simmetrica vuol dire fare la somma di tutte le permutazioni; con tre variabili ci sono le 6 permutazioni $(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a)$.; allora la tua somma al LHS si espande esattamente come hai detto tu. Però ti renderai conto che $a,b,c$ nella notazione della somma simmetrica sono solo dei "segnalini" e null'altro.
Ma bunching ti dice: prendi tutte le permutazioni e due vettori $(x_1,x_2,x_3)$ e $(y_1,y_2,y_3)$ con il primo che maggiorizza il secondo; allora per ogni permutazione prendi il primo ed elevalo a $x_1$, moltiplicalo per il secondo elevato a $x_2$ e ancora il terzo elevato a $x_3$; somma tutti i monomi ottenuti con le $x_i$ e otterrai una $f(a,b,c,x_1,x_2,x_3)$; fai la stessa cosa con gli $y_i$ e otterrai una $f(a,b,c,y_1,y_2,y_3)$; allora poiché $X$ maggiorizza $Y$ avrai $f(a,b,c,x_1,x_2,x_3)\ge f(a,b,c,y_1,y_2,y_3)$.
Quindi se tu volessi applicare bunching dovresti fissare gli esponenti e quindi otterrai a sinistra una cosa del genere:
$$\displaystyle a^\frac{a}{a+b+c}\cdot b^\frac{b}{a+b+c}\cdot c^\frac{c}{a+b+c} + a^\frac{a}{a+b+c}\cdot c^\frac{b}{a+b+c}\cdot b^\frac{c}{a+b+c} + b^\frac{a}{a+b+c}\cdot a^\frac{b}{a+b+c}\cdot c^\frac{c}{a+b+c} + b^\frac{a}{a+b+c}\cdot c^\frac{b}{a+b+c}\cdot a^\frac{c}{a+b+c} + c^\frac{a}{a+b+c}\cdot a^\frac{b}{a+b+c}\cdot b^\frac{c}{a+b+c} + c^\frac{a}{a+b+c}\cdot b^\frac{b}{a+b+c}\cdot a^\frac{c}{a+b+c}$$ che è ben diversa dalla somma che ci interessa...

Spero che si capisca!

[xXStephXx]

Si il trucchetto è quello, pero cosi potrebbe venire una radice irrazionale,ha senso?

Irrazionale ha senso, l'importante è che le basi non siano negative

[Lasker]

@Drago
Grazie, adesso ho capito!
Sospettavo ci fosse qualche problema nella scrittura della somma simmetrica, ma non avevo pensato agli esponenti .
In effetti, forse dovrei rivedermi alcune notazioni, prima di applicare teoremi che non sono capace di dimostrare

[Drago]

Prego!

Allora, per ora abbiamo la soluzione di wall, che ha proposto l'esercizio:
per GM-HM su $\displaystyle(\underbrace{a,\dots,a}_{a\text{ volte}}, \underbrace{b,\dots,b}_{b\text{ volte}}, \underbrace{c,\dots,c}_{c\text{ volte}})$, ovvero $a+b+c$ termini, si ottiene $$\displaystyle\sqrt[a+b+c]{a^ab^bc^c}\ge\frac{a+b+c}{\underbrace{\frac1 a+\dots+\frac1 a}_a+\underbrace{\frac1 b+\dots+\frac1 b}_b+\underbrace{\frac1 c+\dots+\frac1 c}_c}$$
che è quello che si voleva

Bene, ci sono almeno altre due soluzioni che ho hintato:

Testo nascosto:

Jensen con $f(x)=x\cdot\ln x$

Testo nascosto:

WLOG $a\ge b\ge c$ e quindi $a^ab^bc^c\ge\dots$

[Livex]

seconda soluzione

Testo nascosto:

una volta detto WLOG [tex]a \ge b \ge c[/tex] riscrivo l'uguaglianza come [tex]a^ab^bc^c \ge \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{a+b+c} , a^ab^bc^c \ge \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^a \cdot \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^b \cdot \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^c[/tex]
vera perche a destra abbiamo termini uguali elevati agli stessi esponenti mentre a sinistra a,b,c non sono necessariamente uguali, mi sembra che sia riarrangiamento

[nil]

Provo con Jensen (sinceramente è la prima volta che lo uso quindi non so se pecco di qualche puntualizzazione etc. )

Testo nascosto:

Sìa $f(x) = x \ln x$ la funzione gentilmente concessa da Drago
-$f(x)$ non è definita sui reali per $x\le 0$ , mentre è convessa per $x>0$ :
infatti $f''(x) = \frac{1}{x}$ che è $>0$ se $x>0$

Da qui segue che si può utilizzare la diseguaglianza di Jensen :
$$\frac{1}{3}f(a) + \frac{1}{3}f(b) + \frac{1}{3}f(c) \ge f(\frac{a+b+c}{3})$$
$$a\ln a + b\ln b + c\ln c \ge (a+b+c)\ln(\frac{a+b+c}{3})$$
$$\displaystyle e^{\frac{a\ln a + b\ln b + c\ln c}{a+b+c}} \ge \frac{a+b+c}{3}$$
$$\displaystyle a^{\frac{a}{a+b+c}} \cdot b^{\frac{b}{a+b+c}} \cdot c^{\frac{c}{a+b+c}} \ge \frac{a+b+c}{3}$$

la domanda è : $x\ln x$ è una funzione che si trova spesso in problemi di questo tipo con gli esponenti o l'hai cacciata fuori dal nulla?