7. Sequenza Greca

[nil]

Si definisca la sequenza di numeri reali $(a_n),n=1,2,3...$ con $a_1=2$ e $ a_n=(\displaystyle\frac{n+1}{n-1} )(a_1+a_2+...+a_{n-1}) ,n\geq 2$.
Si trovi il valore di $a_{2013}$.

(Forse è un po' lungo come problema per una staffetta però è carino e penso abbastanza fattibile)

[xXStephXx]

Un approccio del tipo: "prima si risolve a culo e poi si formalizza" altrimenti noto come oeis a mali estremi (non è questo il caso)

La soluzione è $a_n= (n+1)2^{n-1}$ (uhm... simulazione 1 del 2012?)

Dimostrazione:
Con $n=1$ funziona: $a_1=2$

Se funziona con $n$ con $n+1$ ho $a_{n+1}= (a_n\frac{n-1}{n+1}+a_n)\frac{n+2}{n}= ((n-1)2^{n-1} + (n+1)2^{n-1})\frac{n+2}{n}
= (n+2)2^n$ Quindi funziona.

Da ciò $a_{2013}= 2014\cdot 2^{2012}$

[nil]

Sì è giusta
La mia soluzione era un po' più complicata ma penso che sìa in realtà uguale e identica alla tua :

Testo nascosto:

Si puo' dimostrare per induzione su $n$ che
\[
a_n = a_1(\frac{n+1}{n-1} )(\prod\limits_{i=1}^{n-2} (\frac{i+2}{i} + 1))
\]
per $n \geq 3$.

Passo base: vale per $n=3$.

Sostituendo si ottiene:
\begin{align*}
a_3 & = (\frac{4}{2} )(a_1 + a_1\frac{3}{1})\\
& = a_1(\frac{4}{2} )(1 + \frac{3}{1})
\end{align*}

Passo induttivo: se vale per $n$, allora vale per $n+1$.

$a_n$ e' definito come $(\displaystyle\frac{n+1}{n-1} )(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1} a_{k})$

Da cui
\begin{align*}
a_1(\frac{n-1}{n+1} )(\frac{n+1}{n-1} )(\prod\limits_{i=1}^{n-2} (\frac{i+2}{i} + 1)) & = a_1(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{a_{k}}{a_1})\\
& = a_1(\prod\limits_{i=1}^{n-2} (\frac{i+2}{i} + 1))
\end{align*}

Percio'
\begin{align*}
a_{n+1} & = a_1(\frac{n+2}{n})((\frac{n+1}{n-1} )(\prod\limits_{i=1}^{n-2} (\frac{i+2}{i} + 1)) + (\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{a_{k}}{a_1}))\\
& = a_1(\frac{n+2}{n})((\frac{n+1}{n-1} )(\prod\limits_{i=1}^{n-2} (\frac{i+2}{i} + 1)) + (\prod\limits_{i=1}^{n-2} (\frac{i+2}{i} + 1)))\\
& = a_1(\frac{n+2}{n})((\frac{n+1}{n-1} + 1 )(\prod\limits_{i=1}^{n-2} (\frac{i+2}{i} + 1)))\\
& = a_1(\frac{n+2}{n})((\prod\limits_{i=1}^{n-1} (\frac{i+2}{i} + 1)))
\end{align*}
Per calcolare $a_{2013}$ basta quindi calcolare
\begin{align*}
a_{2013} & = 2(\frac{2014}{2012})((\prod\limits_{i=1}^{2011} (\frac{i+2}{i} + 1)))\\
& = 2(\frac{2014}{2012})((\prod\limits_{i=1}^{2011} (\frac{2i+2}{i})))\\
& = 2(\frac{2014}{2012})(2^{2011}(\prod\limits_{i=1}^{2011} (\frac{i+1}{i})))\\
& = 2^{2012}(\frac{2014}{2012})((\frac{2012}{1}))\\
& = 2^{2012}\cdot2014
\end{align*}

a te il prossimo problema

(Comunque era il problema 1 della gara nazionale greca di quest'anno)