ammissione sns 2014/2015

[Morets]

Un polinomio di grado 1007 è tale che per ogni k naturale compreso tra 0 e 1007 (estremi inclusi) f(K)=2^k. Determinare f(2015).
Ci ho perso una mattinata ma 0 idee utili . Qualcuno è in grado di illuminarmi?
Grazie in anticipo

[mr96]

Testo nascosto:

Roba con un binomiale

Testo nascosto:

O magari con una somma

Testo nascosto:

[tex]2^k[/tex] come lo ottieni sul triangolo di Tartaglia?

[Morets]

Forse non vedo qualcosa di ovvio ma non capisco. Perchè come dici tu mi sembra solo un altro modo per scrivere 2^k che non capisco come mi possa essere utile per trovare il polinomio, perchè anche scrivendolo come sommatoria binomiali poi alla fine non mi viene l'espressione di un polinomio ma appunto nuovamente 2^k, quello che avevo provato a fare era vedere se provando con k più piccoli venivano polinomi che seguissero una qualche regolarità ma niente.

[mr96]

Forse non vedo qualcosa di ovvio ma non capisco. Perchè come dici tu mi sembra solo un altro modo per scrivere 2^k che non capisco come mi possa essere utile per trovare il polinomio, perchè anche scrivendolo come sommatoria binomiali poi alla fine non mi viene l'espressione di un polinomio ma appunto nuovamente 2^k, quello che avevo provato a fare era vedere se provando con k più piccoli venivano polinomi che seguissero una qualche regolarità ma niente.

Testo nascosto:

Una volta che hai trovato un modo furbo di scriverlo ti basta vedere quanto fa [tex]p(2015)[/tex] e dimostrare che è unico (non so se fosse richiesto, ma amen)

Testo nascosto:

[tex]p(x)=\sum_{i=0}^{1007}\binom{x}{i}[/tex]

[Morets]

Ma così funziona solo per k=1007
O mi sfugge qualcosa.

[Linda_]

No, soddisfa le ipotesi per $k\in\left\{0, 1, \ldots, 1007\right\}$ (e ovviamente questo polinomio è unico)

Hint per verificarlo:

Testo nascosto:

cosa succede se abbiamo $\binom{i}{i+j}$ con $i, j$ interi positivi?

Spiegazione completa:

Testo nascosto:

Prendiamo $x\in\mathbb{N}$ t.c. $x<1007$. Allora
\begin{equation}
p(x)=\sum_\limits{i=0}^{1007} {\binom{x}{i}}=\binom{x}{0}+\cdots+\binom{x}{x}+\binom{x}{x+1}+\cdots+\binom{x}{1007}
\end{equation}
ma dato che $\binom{x}{x+a}=0$ (con $a\in\mathbb{Z}^+$) abbiamo
\begin{equation}
p(x)=\sum_\limits{i=0}^{x} {\binom{x}{i}}=2^x
\end{equation}
e le ipotesi sono soddisfatte.

[Morets]

Ma mi sembra di essere stupido scusate come fa 2^x a essere un polinomio di grado 1007, non esiste alcun polinomio di grado n che coincida in n+2 punti con 2^x. La risposta non può essere 2^2015.
Se ho capito bene stai dicendo che p(x)=2^x ma questo non può essere sono sicuro.
Oppure ripeto mi sfugge qualcosa in quello che dite.

[Morets]

Poi per quello che sapevo il binomiale n su k (scusate non so usare latex imparerò) è definito solo per n maggiore uguale di k.

[Linda_]

Non era la soluzione del problema quella che ho postato, ma la verifica che $p(x)=\sum_\limits{i=0}^{1007} {\binom{x}{i}}$ soddisfa le ipotesi (dato che in un tuo messaggio, se non ho mal interpretato, hai scritto che $p(x)$ funziona solo per 1007) ed ho preso $x<1007$, quindi la soluzione non è $2^{2015}$.

Poi per quello che sapevo il binomiale n su k (scusate non so usare latex imparerò) è definito solo per n maggiore uguale di k.

esatto, e quando $k>n$ vale 0

[Morets]

Ok scusa avevo mal interpretato
Sei sicura che valga 0? Io pensavo non esistesse proprio