Stile dimostrativo - Algebra
Stile dimostrativo - Algebra
In questo topic trattiamo tutte le tematiche relative agli aspetti formali delle dimostrazioni, ovvero come scriverle bene, renderle chiare, e apprezzabili da lettori o da correttori, una volta che la parte sostanziale dell'esercizio è stata risolta.
Re: Stile dimostrativo - Algebra
Cesenatico 2009 1
Siano $a < b < c < d < e $ numeri reali. Si calcolano tutte le possibili somme a due a due di questi $5$ numeri. Di queste $10$ somme, le tre più piccole sono $32, 36, 37$ , mentre le due più grandi sono $48$ e $51$. Si determinino tutti i possibili valori che può assumere $e$.
Soluzione:
Siano $a < b < c < d < e $ numeri reali. Si calcolano tutte le possibili somme a due a due di questi $5$ numeri. Di queste $10$ somme, le tre più piccole sono $32, 36, 37$ , mentre le due più grandi sono $48$ e $51$. Si determinino tutti i possibili valori che può assumere $e$.
Soluzione:
Testo nascosto:
Re: Stile dimostrativo - Algebra
Simulazione 2013 2:
Trovare tutti i polinomi $p(x)$ che soddisfano la relazione:
$(x-16)p(2x)=16(x-1)p(x)$
Soluzione:
Trovare tutti i polinomi $p(x)$ che soddisfano la relazione:
$(x-16)p(2x)=16(x-1)p(x)$
Soluzione:
Testo nascosto:
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Re: Stile dimostrativo - Algebra
Perché? C'è un motivo ben preciso che ci spiega come mai la frase "i due membri devono rappresentare la stessa quantità" ci porta ad avere il diritto di eguagliare i coefficienti di testa.Rho33 ha scritto:I due membri devono rappresentare la stessa quantità quindi eguagliamo i rispettivi coefficienti di testa
Ai correttori non piacciono i ninja, mostra i tuoi calcoli.Rho33 ha scritto:agilmente troviamo le sue quattro radici
Il resto è ok. Per la prima cosa che ti ho segnalato non penso si rischino punti, per la seconda un punto lo perdi! Magari potevi dare per scontate le prime due radici, ma devi ammettere che 4 e 8 sembrano apparse per magia, e questo non va affatto bene. Dando un giudizio medio darei 6 e mezzo, ma dato che non si può io personalmente direi 6, un correttore particolarmente buono potrebbe anche dare 7, questo dipende principalmente dalle preferenze del correttore.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Cit. Marco (mio vero nome)
Re: Stile dimostrativo - Algebra
Ok, per la prima obiezione è vero, non ho esplicitato ma credo che la risposta sia: entrambi i membri rappresentano polinomi dello stesso grado poichè $deg\ \ p(2x)= \ \ deg\ \ p(x)$ , infatti $p(2x)=2^na_nx^n+...$ e $p(x)=a_nx^n+...$
Per la seconda, hai ragione mi sono dimenticato di scrivere i preziosissimi conti, rimedio subito:
$\bullet x=16 \rightarrow $ $0 \cdot p(0)= -16 \cdot p(16) \rightarrow \ \ p(16)=0$
$\bullet x=1 \rightarrow $ $-15 \cdot p(2)= 0 \cdot p(1) \rightarrow \ \ p(2)=0$
$\bullet x=2 \rightarrow $ $-14 \cdot p(4)= 16 \cdot p(2) \rightarrow \ \ p(4)=0$
$\bullet x=4 \rightarrow $ $-12 \cdot p(8)= 48 \cdot p(4) \rightarrow \ \ p(8)=0$
Finito perchè ha al più $4$ radici.
Per la seconda, hai ragione mi sono dimenticato di scrivere i preziosissimi conti, rimedio subito:
$\bullet x=16 \rightarrow $ $0 \cdot p(0)= -16 \cdot p(16) \rightarrow \ \ p(16)=0$
$\bullet x=1 \rightarrow $ $-15 \cdot p(2)= 0 \cdot p(1) \rightarrow \ \ p(2)=0$
$\bullet x=2 \rightarrow $ $-14 \cdot p(4)= 16 \cdot p(2) \rightarrow \ \ p(4)=0$
$\bullet x=4 \rightarrow $ $-12 \cdot p(8)= 48 \cdot p(4) \rightarrow \ \ p(8)=0$
Finito perchè ha al più $4$ radici.
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Re: Stile dimostrativo - Algebra
Si riusciva comunque a fare anche senza eguagliare i coefficienti di testa: infatti si trovava che $p(x) = (x - 2)(x - 4)(x - 8)(x - 16) \cdot q(x)$ e reinserendo nell'uguaglianza iniziale e raccogliendo e semplificando $cose$ si otteneva $q(x) = q(2x)$ e da qui si dimostrava che $q(x) = cost.$ (io l'ho fatto sviluppando il polinomio e facendo vedere che si arriva a un'eguaglianza impossibile, ci sono modi più veloci per dimostrarlo, nonostante si veda subito? )
Ultima modifica di carlotheboss il 24/03/2016, 12:20, modificato 1 volta in totale.
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Re: Stile dimostrativo - Algebra
Si, si ha $p(1)=p(2)= \ldots = p(2^n)$ da cui $p$ assume lo stesso valore in infiniti punti e quindi è costante.carlotheboss ha scritto: (io l'ho fatto sviluppando il polinomio e facendo vedere che si arriva a un eguaglianza impossibile, ci sono modi più veloci per dimostrarlo, nonostante si veda subito? )
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Re: Stile dimostrativo - Algebra
Vero anche questo, non ci avevo pensato .-. grazielucaboss98 ha scritto:Si, si ha $p(1)=p(2)= \ldots = p(2^n)$ da cui $p$ assume lo stesso valore in infiniti punti e quindi è costante.carlotheboss ha scritto: (io l'ho fatto sviluppando il polinomio e facendo vedere che si arriva a un eguaglianza impossibile, ci sono modi più veloci per dimostrarlo, nonostante si veda subito? )