53 [L04] Viva l'originalità

[bern1-16-4-13]

Siano [tex]a,b,c,d[/tex] quattro reali positivi tali che [tex]a+b+c+d=4[/tex].

Mostrare che $$\frac{4}{abcd}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}.$$

[Saro00]

Andando al gabicesso, sono costretto ad imparare le disuguaglianze. Questa è la prima, quindi mi scuso per le cazzate che scriverò
Edit: Cazzata

[Saro00]

Spero sia giusta, in caso contrario, bastonatemi.

Testo nascosto:

Facendo due conti, riscrivo la tesi come
[tex]a^2cd+b^2ad+c^2ab+d^2bc=ac\cdot (ad+bc) +bd \cdot (ab+cd)\le 4[/tex]
Ora distingo due casi:

• Se [tex]ad+bc\le ab+cd[/tex] allora [tex]ac\cdot (ad+bc) +bd \cdot (ab+cd)\le (ab+cd)\cdot (ac+bd) \le \frac{(ab+ac+bd+cd)^2}{4}\le 4[/tex]. Dove la penultima disuguaglianza é vera per AM-GM. Ora, [tex]\frac{(ab+ac+bd+cd)^2}{4}\le 4\iff ab+ac+bd+cd\le 4[/tex], ma [tex]ab+ac+bd+cd=(a+d)\cdot (b+c)\le \frac{(a+b+c+d)^2}{4}=4[/tex] (ho usato AM-GM) da cui la tesi.
  
  Il caso [tex]ad+bc\ge ab+cd[/tex] é analogo al precedente.

[bern1-16-4-13]

Ok!
Invece di dire "analizziamo i due casi" per poi dire che il secondo è analogo al precedente puoi più semplicemente dire $WLOG$ $a\geq b\geq c\geq d$ e notare che il secondo caso è impossibile per riarrangiamento

[lucaboss98]

Ok!
Invece di dire "analizziamo i due casi" per poi dire che il secondo è analogo al precedente puoi più semplicemente dire $WLOG$ $a\geq b\geq c\geq d$ e notare che il secondo caso è impossibile per riarrangiamento

Non puoi... La disuguaglianza non è simmetrica..

[bern1-16-4-13]

Hai ragione, non è simmetrica...

Ma in ogni caso bastano un paio di considerazioni in più. A questo punto però tanto vale analizzare i due casi...

[Saro00]

Posso chiedere il livello? Perché sono le prime disuguaglianze.
(Non ditemi L04, se no vi sparo)

[lucaboss98]

Posso chiedere il livello? Perché sono le prime disuguaglianze.
(Non ditemi L04, se no vi sparo)

Secondo me L05 (non potendo dire L04..)