Ricordiamo brevemente che i polinomi di Chebycheff sono una famiglia di polinomi $T_n(x)$ tali che
$$
\begin{cases}
T_0(x)=1\\
T_1(x)=x\\
T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)
\end{cases}
$$
Chiamiamo per comodità
$$
T_n(x)=\sum_{i=0}^n a(n,i)x^i
$$
Si dimostrano per induzione le seguenti cose.
- $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$ (induzione con prostaferesi).
- $a(n,n)=2^{n-1}$ per $n\ge 1$ (banale).
- $v_2(a(n,i))\ge i - 1$: infatti $a(n,i)=2a(n-1,i-1)-a(n-2,i)$, dunque $v_2(a(n,i))\ge \min\{1+v_2(a(n-1,i-1)),v_2(a(n-2,i))\}\ge i-1$
Supponiamo ora per assurdo che esistano $a,b,h,k$ interi positivi tali che $0<\frac{a}{b}\pi<\frac{\pi}{2}$, $\frac{h}{k}\neq \frac{1}{2}$, $\cos\left(\frac{a}{b}\pi\right)=\frac{h}{k}$; questa è ovviamente la negazione della tesi.
Poniamo $\lambda=\cos\left(\frac{a}{b}\pi\right)$ e $n=2b$. Vale $T_n(\lambda)=\cos(2a\pi)=1$, ovvero $\lambda$ è radice (razionale) di $T_n(x)-1$.
Siccome $\lambda\neq 0$ e $a(n,n)=2^{n-1}$, $\lambda$ sarà della forma $\frac{r}{2^s}$ per $r,s$ interi ($r$ dispari); per le limitazioni che abbiamo imposto, $r\ge 1,s\ge 2$.
Calcoliamo allora $v_2(T_n(\lambda))$:
$$
v_2(a(n,n)\lambda^n)=v_2(a(n,n))-ns=n(1-s)-1\\
v_2(a(n,i)\lambda^i)=v_2(a(n,i))-is\ge i(1-s)-1
$$
Quindi per $i<n$, $v_2(a(n,i)\lambda^i)>v_2(a(n,n)\lambda^n)$, perciò $v_2(T_n(\lambda))=v_2(a(n,n)\lambda^n)=n(1-s)-1<0$. Da cui $T_n(\lambda)-1\neq 0$, assurdo.
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