Approssimando qua e là

[Rho33]

Dato $\alpha $ irrazionale e $0 <k < 1$ , dimostrare che $\forall \epsilon >0 $ esiste un $n \in \mathbb{N}$ tale che:

$k< \{ n \alpha\} < k+ \epsilon $


Vorrei chiedere se questo esercizio è semplice come sembra oppure nella mia soluzione ho ancora del lavoro da fare:

Testo nascosto:

Considero le parti frazionarie dei multipli di $\alpha $ , ovvero $\{ \alpha\},\{ 2 \alpha\},...,\{ n \alpha\}$ . Esse si trovano tutte chiaramente nell'intervallo $[0,1)$ . Costruiamo ora $n$ cassetti , ovvero $0- \dfrac {1}{n}, ... , \dfrac {n-1}{n}-1 $ ( sono dei trattini, non segni meno) .

Allora per pigeonhole, vi sono due parti frazionarie presenti nello stesso sottointervallo $ \displaystyle [\dfrac {r}{n}, \dfrac {r+1}{n} )$ . Assumo WLOG siano $\{ j \alpha\}, \{ h \alpha\}$ . Allora chiaramente la loro differenza sarà ancora una certa parte frazionaria di un multiplo di $\alpha$ , $\{ j \alpha\}-\{ h \alpha\}= \{ l \alpha\}$ Questo multiplo si troverà ancora in un generico sottointervallo, ovvero

$\dfrac {s}{n} < \{ l \alpha\} < \dfrac {s+1}{n} $

Ma allora ponendo $k= \dfrac {s}{n} $ si ottiene la tesi .

P.S. Ovviamente $\epsilon$ è infinitamente piccolo !