Dato un punto $P$ a coordinate razionali nel piano cartesiano, determinare se è sempre possibile tracciare una retta passante per $P$ e per nessun altro punto a coordinate razionali (ovviamente quando dico coordinate razionali intendo che sia l'ascissa che l'ordinata devono essere razionali).
BONUS: determinare se è sempre possibile tracciare infinite rette passanti per $P$ e per nessun altro punto a coordinate razionali.
[L02/03] Dammi retta
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Gerald Lambeau
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[L02/03] Dammi retta
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
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Re: [L02/03] Dammi retta
BONUS INUTILE: qual è la cardinalità dell'insieme delle rette che vanno bene, fissato $P$?
(se avete fatto i primi 2 è ovvio, ma aggiunge qualcosina alla risposta)
(se avete fatto i primi 2 è ovvio, ma aggiunge qualcosina alla risposta)
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
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Re: [L02/03] Dammi retta
Quanto mi piacciono i problemi in cui serveLasker ha scritto:BONUS INUTILE: qual è la cardinalità dell'insieme delle rette che vanno bene, fissato $P$?
(se avete fatto i primi 2 è ovvio, ma aggiunge qualcosina alla risposta)
Testo nascosto:
Re: [L02/03] Dammi retta
Bu, per rispondere a tutti i bonus credo basti scegliere un $\alpha$ irrazionale come coefficiente angolare e notare che chiaramente:
$y-y_p= \alpha (x-x_p) $ soddisfa ( se per assurdo esistesse un altro punto a coordinate razionali, anche $\alpha$ dovrebbe esserlo!)
Chiaramente esistono infiniti $\alpha$ che vanno bene e per quanto riguarda il bonus di Lasker, ciò significa (credo) che per ogni razionale esistono infiniti irrazionali con cui può essere messo in relazione, ovvero che gli irrazionali sono "più" dei razionali ( infiniti numerabili e non numerabili se non erro, però so meno di zero di questi argomenti, quindi prendete con le pinze ciò che scrivo
)
$y-y_p= \alpha (x-x_p) $ soddisfa ( se per assurdo esistesse un altro punto a coordinate razionali, anche $\alpha$ dovrebbe esserlo!)
Chiaramente esistono infiniti $\alpha$ che vanno bene e per quanto riguarda il bonus di Lasker, ciò significa (credo) che per ogni razionale esistono infiniti irrazionali con cui può essere messo in relazione, ovvero che gli irrazionali sono "più" dei razionali ( infiniti numerabili e non numerabili se non erro, però so meno di zero di questi argomenti, quindi prendete con le pinze ciò che scrivo
)Re: [L02/03] Dammi retta
Così tanto per svago metto una soluzione che fa uso solo delle cardinalità degli insiemi e roba del genere.
Tracciamo una retta a caso non per $P$ e chiamiamola $\ell$. Esiste un'ovvia bigezione fra le rette del piano non parallele a $\ell$ passanti per $P$ e i punti di $\ell$ (per ogni punto di $\ell$ e $P$ passa una e una sola retta), e i punti su $\ell$ sono $\mathfrak{c}=|\mathbb{R}|$, quindi il numero di rette passanti per $P$ è $\mathfrak{c}+1=\mathfrak{c}$. I punti razionali diversi da $P$ sono $|\mathbb{Q}|^2-1=\aleph_0$, quindi le rette passanti per $P$ e per un altro punto razionale sono al più $\aleph_0$. Ne segue che le rette passanti per $P$ e per nessun altro punto razionale sono almeno $\mathfrak{c}-\aleph_0=\mathfrak{c}$. D'altro canto, poichè queste rette sono un sottoinsieme di tutte le rette passanti per $P$, sono al più $\mathfrak{c}$; quindi, per il teorema di Cantor-Bernstein-Schröder, sono esattamente $\mathfrak{c}$.
Tracciamo una retta a caso non per $P$ e chiamiamola $\ell$. Esiste un'ovvia bigezione fra le rette del piano non parallele a $\ell$ passanti per $P$ e i punti di $\ell$ (per ogni punto di $\ell$ e $P$ passa una e una sola retta), e i punti su $\ell$ sono $\mathfrak{c}=|\mathbb{R}|$, quindi il numero di rette passanti per $P$ è $\mathfrak{c}+1=\mathfrak{c}$. I punti razionali diversi da $P$ sono $|\mathbb{Q}|^2-1=\aleph_0$, quindi le rette passanti per $P$ e per un altro punto razionale sono al più $\aleph_0$. Ne segue che le rette passanti per $P$ e per nessun altro punto razionale sono almeno $\mathfrak{c}-\aleph_0=\mathfrak{c}$. D'altro canto, poichè queste rette sono un sottoinsieme di tutte le rette passanti per $P$, sono al più $\mathfrak{c}$; quindi, per il teorema di Cantor-Bernstein-Schröder, sono esattamente $\mathfrak{c}$.