**Sostituisco $x,y,z$ con $a,b,c$ così, senza alcun motivo
Notiamo in primis che se $a+b \ge \dfrac{7}{2}$ la disuguaglianza è palesemente vera poichè espandendo il tutto si avrebbe $abc+2(a+b+c)+1$ e quindi $2(a+b+c) \ge 7$ e quindi $2(a+b+c)+1 \ge 8$.
Siano ora $f=ab+1$ e $g=a+b$. Allora posso riscrivere la disuguaglianza come $(g+f)(2g-f) \ge 8(g-1)$ che diventa , espandendo il tutto , $f^2-fg+8g-8-2g^2 \leq 0$
Prendo ora le soluzioni della disequazione in $f$ e ottengo che deve valere $\dfrac{g-\sqrt{9g^2-32g+32}}{2} \leq f \leq \dfrac{g+\sqrt{9g^2-32g+32}}{2}$.La prima disuguaglianza è palesemente vera poichè $\dfrac{g-\sqrt{9g^2-32g+32}}{2} \leq 0 < f$ quindi passiamo alla seconda. Per AM-GM vale $f \leq \dfrac{g^2}{4}+1$ quindi se dimostro che $\dfrac{g^2}{4}+1 \leq \dfrac{g+\sqrt{9g^2-32g+32}}{2}$ per $g \in (0,\dfrac{7}{2}]$ ho finito.Prendendo ambo i membri ed elevando al quadrato si ottiene $(g^2-28)(g-2)^2 \le 0$ che è ovviamente vera per ogni $g \in (0,\dfrac{7}{2}]$ poichè $g^2-28 \leq \dfrac{49}{4}-28 < 0$ mentre $(g-2)^2 \ge 0$ per ogni $g \in \mathbb{R}$.
Per quanto concerne i casi di uguaglianza invece, si hanno ovviamente quando $f=\dfrac{g+\sqrt{9g^2-32g+32}}{2}$ e quindi quando $f=2$ e poichè questa si ha solo quando vale l'uguaglianza fra $f$ e $\dfrac{g^2}{4}+1$ quindi quando $a=b$ si fa una breve verifica e si conclude che l'uguaglianza si ha sse $(a,b,c)=(1,1,1)$.
