Problemi con problemi

[ElPaso98]

Da una gara a squadre romana di qualche anno fa che mi è tornata sotto mano per caso.
In un triangolo i 3 lati misurano [tex]\frac{13}{2}\cdot \sqrt[3]{195}, 7 \cdot \sqrt[3]{195} , \frac{15}{2} \cdot \sqrt[3]{195}[/tex].
Per ogni suo punto interno [tex]P[/tex] indichiamo con [tex]M[/tex] il prodotto delle tre distanze di [tex]P[/tex] dai lati del triangolo. Qual è al variare di [tex]P[/tex] all'interno del trinagolo , il massimo valore che può assumere [tex]M[/tex]?

Ora vi illustro il mio problema col problema. Ho un'idea di come si risolva

Testo nascosto:

Il prodotto massimo si ricava con [tex]AM-GM[/tex] per cui il massimo si ottiene per [tex]AM=GM[/tex], vera solo quando le tre distanze sono uguali tra loro e cioè quando queste corrispondono al raggio della circonferenza inscritta nel triangolo, a questo punto iniziano dei conti abbastanza malati per cui con formula di Erone e semiperimetro si ricava la lunghezza del raggio da elevare al cubo. Il mio risultato è [tex]1560[/tex], quello esatto dovrebbe essere 1568

, aiutino?

[Gerald Lambeau]

AM-GM funzionerebbe se tu avessi che la somma delle tre distanze sia costante, altrimenti se varia potrebbe esistere un punto per cui tale somma è maggiore di quando sono tutte uguali e quindi anche il limite per il loro prodotto si alza; ovviamente non essendo uguali non arriverebbero mai al limite più alto, ma potrebbero benissimo superare quello di un caso in cui la somma è più piccola.