Respect the disuguaglianza

[ElPaso98]

Dimostrare che per ogni coppia di reali positivi [tex]x,y[/tex] tali che [tex]x+y=1[/tex] si ha
[tex](x+\frac{1}{x})^2 + (y+ \frac {1}{y})^2 \ge \frac {25}{2}[/tex]

[AleDonda]

DISUGUAGLIANZA DI JENSEN:
Sia [tex]f(x)[/tex] una funzione convessa.Siano inoltre [tex]λ_1,λ_2,...,λ_i \in\mathbb R^+[/tex] tali che [tex]\lambda_1+\dots+\lambda_i=1[/tex] e [tex]x_1,\dots,x_i\in\mathbb R[/tex]. Vale,allora,la seguente disuguaglianza:

[tex]f(\lambda_1x_1+\dots+\lambda_ix_i)\le\lambda_1f(x_1)+\dots+\lambda_if(x_i)[/tex] (Disuguaglianza di jensen)

SOLUZIONE: dimostrare che si ha [tex](x+\frac{1}{x})^2 + (y+ \frac {1}{y})^2 \ge \frac {25}{2}[/tex] per ogni coppia di reali positivi [tex]x,y[/tex] tali che [tex]x+y=1[/tex]

Cominciamo col notare la banale relazione [tex]\frac{x}{2} +\frac{y}{2} =\frac{1}{2}[/tex]; da cui possiamo porre rispettivamente [tex]\lambda_1=\lambda_2=\frac{1}{2}[/tex] (notare che la somma delle [tex]\lambda[/tex] è pari a 1).
Poniamo ora [tex]f(z)=(z+\frac{1}{z})^2[/tex]. Dalla disuguaglianza di jensen segue che: [tex]f(\frac{x}{2} +\frac{y}{2})\le \frac {1}{2}f(x)+\frac {1}{2}f(y)[/tex].
Ma [tex]f(\frac{x}{2} +\frac{y}{2})=f(\frac{1}{2})=\frac{25}{4}[/tex]; sostituendo i valori di [tex]f(x) e f(y)[/tex] nella disuguaglianza usando la definizione di [tex]f(z)[/tex] otteniamo proprio:

[tex](x+\frac{1}{x})^2 + (y+ \frac {1}{y})^2 \ge \frac {25}{2}[/tex]

Spero di essere stato chiaro

[ElPaso98]

Io avevo in mente una soluzione ma volevo chiedere il vostro parere perchè non mi convince fino in fondo

Testo nascosto:

Per prima cosa applico [tex]RMS-AM[/tex] ad [tex]x,y[/tex] da cui ottengo [tex]\sqrt \frac {x^2+y^2}{2} \ge \frac {x+y}{2}[/tex] e ponendo [tex]x+y=1[/tex] come da ipotesi, ottengo [tex]\rightarrow[/tex] [tex]x^2+y^2 \ge \frac {1}{2}[/tex].
A questo punto la mia idea era di applicare [tex]AM-HM[/tex] su [tex]x^2,y^2[/tex] per ottenere [tex]\frac {x^2+y^2}{2} \ge \frac {2}{\frac {1}{x^2}+ \frac {1}{y^2}}[/tex] per ricavare [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\frac {1}{x^2}+ \frac {1}{y^2} \ge \frac {4}{x^2+y^2}[/tex]
La mia domanda è: si può risolvere il problema ponendo [tex]x^2+y^2=\frac {1}{2}[/tex], che è il suo valore minimo? Se così fosse la disuaguaglianza sarebbe effettivamente verificata. Il dubbio mi sorge dal momento che credo che il minimo di [tex]\frac {1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}[/tex] si ottenga per il massimo di [tex]x^2+y^2[/tex] data la relazione che li lega, ma probabilmente sbaglio da qualche parte, grazie per l'aiuto.

[Gerald Lambeau]

È più semplice se si fa con un buon numero di passaggi algebrici e poi concludi per AM-GM (tutti i passaggi sono "se e solo se"):

Testo nascosto:

$\displaystyle x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+4 \ge \frac{25}{2}$
$\displaystyle (x+y)^2-2xy+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2-\frac{2}{xy} \ge \frac{17}{2}$
$\displaystyle 1-2xy+\frac{1}{x^2y^2}-\frac{2}{xy} \ge \frac{17}{2}$
$\displaystyle -2xy+\frac{1}{x^2y^2}-\frac{2}{xy} \ge \frac{15}{2}$
$\displaystyle -2x^3y^3+1-2xy \ge \frac{15x^2y^2}{2}$
$\displaystyle LHS=2 \ge 4x^3y^3 + 15x^2y^2 + 4xy=RHS$.
Ora per AM-GM $\displaystyle xy \le \frac{1}{4}$ e sostituendo otteniamo che $RHS \le 2=LHS \Rightarrow LHS \ge RHS$. Fine.

[AleDonda]

All'inizio ho provato ad approcciare il problema con lo stesso metodo di Gerald... Ma mi sono perso con la disuguaglianza di jensen mi è parso più immediato

[ElPaso98]

Io mi ero intestardito con [tex]AM-HM[/tex] perchè questo era l'hint del testo comunque molto bella la soluzione con Jensen anche se lo conosco appena, quella di Gerald mi è più comprensibile, mi resta un po' oscura la strada che avevo tentato io, è sbagliato dire che nella relazione [tex]\frac {1}{x^2}+ \frac{1}{y^2} \ge \frac {4}{x^2+y^2}[/tex]il minimo di [tex]\frac {1}{x^2}+ \frac {1}{y^2}[/tex] si ottiene per il massimo di [tex]x^2+y^2[/tex]?

[Gerald Lambeau]

Sembra giusto, comunque devi trovare un modo per far entrare la disuguaglianza che hai trovato in quella del testo, non ti stare a preoccupare troppo di massimi e minimi (ma non ascoltarmi troppo, non l'ho ancora provato con AM-HM).

[ElPaso98]

Capisco cosa intendi, comunque per togliere ogni dubbio ho fatto qualche prova e contrariamente a quanto potessi pensare [tex]x^2+y^2[/tex] e [tex]\frac {1}{x^2}+ \frac {1}{y^2}[/tex] crescono assieme, per cui il minimo di uno si ottiene per minimo dell'altro, per cui ponendo [tex]x^2+y^2= \frac {1}{2}[/tex] si ottiene [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\frac {1}{x^2}+ \frac {1}{y^2} \ge \frac {4}{\frac {1}{2}}=8[/tex]
Che sommato a [tex]x^2+y^2 \ge \frac {1}{2}[/tex] conclude il problema.

[Gerald Lambeau]

Sì, in effetti hai ragione, e il motivo per cui crescono assieme invece di fare l'inverso è molto semplice: c'è un $\ge$ al posto di un $=$, quindi ad esempio è ovvio che $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}$ è minimo quando $\frac{4}{x^2+y^2}$ è massimo (se ci fosse stato l'uguale sarebbe stato quando $\frac{4}{x^2+y^2}$ è minimo) e ovviamente $\frac{4}{x^2+y^2}$ si massimizza al minimo di $x^2+y^2$.

[ElPaso98]

Sì, e appariva anche più evidente considerando che nella relazione [tex]\frac {1}{x^2}+ \frac {1}{y^2} \ge \frac {4}{x^2+y^2}[/tex] il minimo di [tex]LHS[/tex] coincide con il massimo di [tex]RHS[/tex] e quest'ultimo si ottiene quando il suo denominatore diventa molto piccolo [tex]\rightarrow x^2+y^2= \frac {1}{2}[/tex].