Stage olimpico 2016

[ElPaso98]

Mostrare che dati tre numeri reali [tex]a,b,c>0[/tex] vale

[tex]\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+\frac{c^3}{ab}\ge a+b+c[/tex]

Posto la mia, ditemi che ne pensate:

Testo nascosto:

Divido ambo i membri per [tex]abc[/tex] (e posso farlo tranquillamente poichè questo prodotto è certamente positivo date le ipotesi iniziali e non cambia il verso della disuguaglianza), ottengo così
[tex]\frac{a^2}{b^2c^2}+\frac{b^2}{a^2c^2}+\frac{c^2}{a^2b^2}\ge \frac{a+b+c}{abc}=\frac {1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}[/tex]
Suppongo [tex]a<b<c[/tex] WLOG.
Applico riarrangiamento su [tex]A=(a^2,b^2,c^2)[/tex] e [tex]B=(\frac{1}{b^2c^2},\frac{1}{a^2c^2},\frac{1}{a^2b^2})[/tex]
da cui ottengo [tex]\frac{a^2}{b^2c^2}+\frac{b^2}{a^2c^2}+\frac{c^2}{a^2b^2}\ge \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/tex]
Per concludere dimostriamo che [tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac {1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}[/tex] che è vero per riarrangiamento su [tex]A'=(\frac{1}{c},\frac{1}{b},\frac{1}{a})[/tex] e [tex]B'=(\frac{1}{c},\frac{1}{b},\frac{1}{a})[/tex]
Per transitività otteniamo la tesi.

[bern1-16-4-13]

Ne approfitto per chiedere una cosa:
Bunching è lecito usarlo anche con esponenti generici reali (in questo caso è sufficiente anche esponenti interi)?

[ElPaso98]

Premetto che non sono il più adatto a risponderti anche perchè questa disuguaglianza non l'ho mai usata, comunque a giudicare dalla sua definizione "scolastica" direi che si possono avere esponenti reali, anche non interi.

[lucaboss98]

Ne approfitto per chiedere una cosa:
Bunching è lecito usarlo anche con esponenti generici reali (in questo caso è sufficiente anche esponenti interi)?

È lecito con esponenti razionali qualsiasi! Per i reali non so dirti (magari si con roba sulla densità di $\mathbb{Q}$ rispetto a $\mathbb{R}$ ).

[bern1-16-4-13]

Grazie, buono a sapersi!