Carino. (1)

[Giovanni98]

Sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti interi di grado $n \ge 2$. Sia $\mathbb{A}$ un insieme di $n+1$ interi consecutivi.

Dimostrare che $\exists a \in \mathbb{A}$ tale che $p(x) \ne a$ per ogni $x$ numero intero.

[lucaboss98]

Sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti interi di grado $n$. Sia $\mathbb{A}$ un insieme di $n+1$ interi consecutivi.

Dimostrare che $\exists a \in \mathbb{A}$ tale che $p(x) \ne a$ per ogni $x$ numero intero.

Manca l'ipotesi $n \geq 2$

[Giovanni98]

Sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti interi di grado $n$. Sia $\mathbb{A}$ un insieme di $n+1$ interi consecutivi.

Dimostrare che $\exists a \in \mathbb{A}$ tale che $p(x) \ne a$ per ogni $x$ numero intero.

Manca l'ipotesi $n \geq 2$

Giusto, sorry

[Gerald Lambeau]

Testo nascosto:

Supponiamo per assurdo che la tesi sia falsa, allora esistono un polinomio $p$ e un intero $y$ per cui esistono $x_i$ interi, diversi fra loro, tali che $p(x_i)=y+i$ per $i=0, 1, \dots, n$.
$0 \ne x_{i+1}-x_{i} \mid p(x_{i+1})-p(x_i)=1 \Rightarrow x_{i+1}-x_i=1 \lor -1$. Notiamo che se $x_{i+1}-x_i=1$, non può essere $x_{i+2}-x_{i+1}=-1$, altrimenti $x_{i+2}=x_i$, che contraddice le ipotesi.
L'altro caso è analogo, quindi si ha per induzione che $x_i=x_0 \pm i$ dove il segno è lo stesso per ogni $i$.
Consideriamo $q(x)=p(x)-y \mp (x-x_0)$, allora $q(x_i)=p(x_i)-y \mp (x_i-x_0)=y+i-y \mp (\pm i)=0$ per ogni $i$.
Dato che $q$ mantiene gli stessi coefficienti di $p$ per i termini di grado $\ge 2$, $q$ mantiene lo stesso grado $n$ di $p$, ma ha $n+1$ radici, assurdo!
Fine.

[Giovanni98]

Testo nascosto:

Supponiamo per assurdo che la tesi sia falsa, allora esistono un polinomio $p$ e un intero $y$ per cui esistono $x_i$ interi, diversi fra loro, tali che $p(x_i)=y+i$ per $i=0, 1, \dots, n$.
$0 \ne x_{i+1}-x_{i} \mid p(x_{i+1})-p(x_i)=1 \Rightarrow x_{i+1}-x_i=1 \lor -1$. Notiamo che se $x_{i+1}-x_i=1$, non può essere $x_{i+2}-x_{i+1}=-1$, altrimenti $x_{i+1}=x_i$, che contraddice le ipotesi.
L'altro caso è analogo, quindi si ha per induzione che $x_i=x_0 \pm i$ dove il segno è lo stesso per ogni $i$.
Consideriamo $q(x)=p(x)-y \mp (x-x_0)$, allora $q(x_i)=p(x_i)-y \mp (x_i-x_0)=y+i-y \mp (\pm i)=0$ per ogni $i$.
Dato che $q$ mantiene gli stessi coefficienti di $p$ per i termini di grado $\ge 2$, $q$ mantiene lo stesso grado $n$ di $p$, ma ha $n+1$ radici, assurdo!
Fine.

Perfetto.

[Gerald Lambeau]

Tranne un typo che ho appena visto, ora correggo.