Minimo

[ElPaso98]

Trovare il minimo di
[tex]f(x)=\sqrt{x^2-4x+13}+ \sqrt{x^2-14x+130}[/tex]

[CaptainJohnCabot]

Provo a rispondere io, anche se sono un po' arrugginito...

Per trovare il minimo di [tex]f(x)[/tex] si calcola la sua derivata [tex]D(x)[/tex] e la si eguaglia a 0. Allora si ha:

[tex]\displaystyle D(x)=\frac{x-2}{\sqrt(x^2-4x+13)}+\frac{x-7}{\sqrt(x^2-14x+130)}=0[/tex]

I passaggi algebrici sono in spoiler per evitare di appesantire troppo la soluzione:

Testo nascosto:

[tex]\displaystyle \frac{x-2}{\sqrt(x^2-4x+13)}=-\frac{x-7}{\sqrt(x^2-14x+130)}[/tex]

Elevando entrambi i membri al quadrato:

[tex]\displaystyle \frac{x^2-4x+4}{x^2-4x+13}=\frac{x^2-14x+49}{x^2-14x+130}[/tex]

Moltiplicando 'a croce' si ottiene:

[tex]\displaystyle x^4-18x^3+190x^2-576x+520=x^4-18x^3+118x^2-378x+637[/tex]

Portando tutto al LHS si ha quindi:

[tex]\displaystyle 72x^2-198x-117=0[/tex]

Si è trovata quindi la seguente equazione di secondo grado:

[tex]\displaystyle 72x^2-198x-117=0[/tex]

Si calcolano ora le sue radici, sono [tex]x=\frac{13}{4}[/tex] o [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex], di queste una sarà il minimo.

Sostituendo i valori trovati in [tex]f(x)[/tex] si trova che quello minimo è dato da [tex]x=\frac{13}{4}[/tex] ed è:

[tex]\displaystyle f(\frac{13}{4})=13[/tex]

[ElPaso98]

Esatta. Il testo prevede una soluzione meno 'analitica' che cercherò di capire bene, intanto approfitto per chiedere un chiarimento sulle derivate non avendole fatte a scuola. La derivata non è un coefficiente angolare di una retta tangente a una funzione in un suo punto? Perché le derivate di polinomi sono sempre polinomi (tranne che non si tratti di un polinomio di primo grado, in quel caso la sua derivata è una costante)? Precisando che conosco solo il metodo della derivata formale di un polinomio.

[Drago]

Alternativamente si può vedere che, fissati in un piano cartesiano $A=(2,3),B=(7,-9),P=(x,0)$, allora $f(x)$ è la lunghezza $AP+PB$. Per disuguaglianza triangolare, vale allora $f(x)\ge AB$, e l'uguaglianza si ha quando $A,P,B$ sono allineati: il minimo di $f(x)$ si ha dunque intersecando la retta $AB$ con $y=0$.

Il fatto sulla derivata è che in un punto di massimo o di minimo $f'(x)$ si annulla (sotto alcune ipotesi, ad esempio che la derivata esista davvero). Tuttavia per fare una soluzione corretta, non basta cercare i punti a derivata nulla, ma occorre controllare anche il bordo: se per $x$ sempre più grosso, $f(x)$ si avvicinasse sempre di più a $0$, non ci sarebbe un minimo... Quindi ci sono un po' di ipotesi da verificare (che per le funzioni sensate lo sono) per poter fare in tranquillità $f'=0$ e dire di aver trovato il minimo.

[Lasker]

Un altro modo (si fa per dire) è usare la disuguaglianza di Micossi (vera per $n\in\mathbb{N}$ $p>1$ e $a_k, b_k\in \mathbb{R}$):
$$\left(\sum_{k=1}^n{|a_k+b_k|^{\frac{1}{p}}}\right)^p\leq \left(\sum_{k=1}^n{|a_k|^{\frac{1}{p}}}\right)^p+\left(\sum_{k=1}^n{|b_k|^{\frac{1}{p}}}\right)^p$$
Con $n=2$, $p=2$, $a_1=(x-2)$, $b_1=7-x$, $a_2=3$, $b_2=9$. Infatti così facendo otteniamo
$$f(x)=\sqrt{(x-2)^2+3^2}+\sqrt{(7-x)^2+9^2}\geq \sqrt{(x-2-x+7)^2+(3+9)^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$$
Uguaglianza se
$$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}\Rightarrow\ \ \frac{x-2}{7-x}=\frac{3}{9} \Rightarrow \ \ x=\frac{13}{4}$$

[ElPaso98]

Ecco forse è la cosa più banale del mondo ma proprio non capisco perché [tex]f (x)=AP+PB[/tex] , qualcuno mi spiega

[mr96]

disuguaglianza di Micossi

[alexthirty]

Ecco forse è la cosa più banale del mondo ma proprio non capisco perché [tex]f (x)=AP+PB[/tex] , qualcuno mi spiega

Prova a trasformare il testo del problema in qualcosa che sia collegato a segmenti nel piano cartesiano

[Rho33]

Che brutti ricordi... avevo sbagliato i conti derivando e mi era uscita una cosa totalmente diversa

disuguaglianza di Micossi

Lasker quando l'hai dimostrata?

Anyway, per ElPaso98:

Se te la riscrivessi così $f(x)= \sqrt {(x-2)^2+(0-3)^2)}+ \sqrt {(x-7)^2+(0+9)^2}$ ci vedresti la distanza tra due punti nel piano in entrambi gli addendi? Altrimenti, un paio di occhiali farebbe comodo (scusa, non potevo trattenermi )

[ElPaso98]

ora va meglio