BMO 1997 4 (o anche 2000 1)

[Rho33]

Trovare tutte le funzioni $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tali che

$$f(xf(x)+f(y))=[f(x)]^2+y \ \ \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}$$

E' corretta? Perché mi è sembrata abbastanza standard...

Testo nascosto:

Come al solito, $P(x,y)$ è l'asserzione del testo.

$P(0,y) \rightarrow f(f(y))=[f(0)]^2 +y \ \ (1)$ e chiamando $f(0)= \alpha$ , segue che $f$ è bigettiva.

Dalla suggestività ottengo che $\exists \beta $ tale che $f(\beta )=0$.

$P( \beta , y) \rightarrow f(f(y))= y \ \ (\star)$ ed inoltre sostituendo in $(1)$ si ottiene che $f(0)=0 \rightarrow \beta = \alpha =0$

$P(f(x),y) \rightarrow f(xf(x)+f(y))=x^2+y$ dove abbiamo usato anche la $(\star )$

Da quest'ultima relazione e dal testo iniziale segue che :

$[f(x)]^2=x^2 \iff |f(x) |= |x | \iff f(x)= \pm x$ (sostituendo si vede che verificano entrambe)

Manca solo da dimostrare che non esistono funzioni miste, ovvero:

$\bullet $ Per assurdo $f(x)=x , f(y)=-y \iff f(x^2-y)=x^2+y \iff x=0$ assurdo!

$\bullet $ Per assurdo $f(x)=-x , f(y)=y \iff f(-x^2+y)=x^2+y \iff x=0$ assurdo!