Disuguaglianza

[Rbbn]

Dimostrare che:
per ogni terna di sequenze di n reali positivi [tex]a_{i},b_{i},c_{i}[/tex]:

[tex](\sum_{i=1}^n a_{i}b_{i}c_{i} )^2 \leq (\sum_{i=1}^n a_{i}^2)(\sum_{i=1}^n b_{i}^2)(\sum_{i=1}^n c_{i}^2)[/tex]

[Veritasium]

Testo nascosto:

[tex](\sum_{i} a_ib_ic_i)^2 \le (\sum_{i} a_i^2)(\sum_{i} b_i^2c_i^2) \le (\sum_{i} a_i^2)(\sum_{i} b_ic_i)^2 \le (\sum_{i} a_i^2)(\sum_{i} b_i^2)(\sum_{i} c_i^2)[/tex] dove la prima è la terza disuguaglianza valgono per Cauchy Schwarz e la seconda segue dalla banale [tex]\sum_{i} k_i^2 \le (\sum_{i} k_i)^2 = \sum_{i} k_i^2 + 2\sum_{1 \le i < j \le n} k_ik_j[/tex] per qualsiasi [tex]n-[/tex] upla di reali non negativi

[Rho33]

Ma secondo voi quest per induzione va bene?

Testo nascosto:

Passo base: OK

Passo induttivo:

$$\left (\sum_{k=1}^{n+1} a_k^2\right ) \left (\sum_{k=1}^{n+1} b_k^2\right ) \left ( \sum_{k=1}^{n+1}c_k^2\right )= \left (\sqrt{\sum_{k=1}^{n} a_k^2}^2+ a_{n+1}^2 \right ) \left (\sqrt{\sum_{k=1}^{n} b_k^2}^2 + b_{n+1}^2 \right ) \left (\sqrt{\sum_{k=1}^{n} c_k^2}^2+ c_{n+1}^2\right ) \geq $$ $$ \geq \left ( \sqrt{\left (\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right ) \left (\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right ) \left ( \sum_{k=1}^{n}c_k^2 \right )} + a_{n+1}b_{n+1}c_{n+1}\right )^2 \geq \left (\sum_{k=1}^n a_kb_kc_k + a_{n+1}b_{n+1}c_{n+1}\right )^2= $$ $$= \left (\sum_{k=1}^{n+1} a_kb_kc_k \right )^2$$