[L02/03] Funzionale

[Gizeta]

Trovare tutte le funzioni [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tali che

[tex]f(x+y)+xy=f(x)f(y)[/tex]

[Rho33]

Carina! E credo il livello sia appropriato (io ci ho messo 5 minuti a farla, a meno che non sia errata ). Da dove l'hai presa?

Soluzione:

Testo nascosto:

Chiamo $P(x,y)$ il testo.

Da $P(0,0)$ ottengo che $f(0)=f(0)^2$ , quindi distinguiamo in casi:

$\bullet \ \ f(0)=0$. Ponendo $P(x,0)$ si ottiene $f(x)=0$ che però non soddisfa!

$\bullet \ \ f(0)=1$. Ponendo $P(1,-1)$ si ottiene:

$$f(0)-1=f(1)f(-1) \iff 0=f(1)f(-1)$$

Ma allora distinguiamo altri due sottocasi:

$\bullet \bullet \ \ f(1)=0$. Ponendo $P(x-1,1)$ ottengo

$$f(x)+x-1=f(x-1)f(1) \iff f(x)=-x+1$$ che soddisfa!

$\bullet \bullet \ \ f(-1)=0$. Ponendo $P(x+1,-1)$ si ottiene:

$$f(x)-x-1=f(x+1)f(-1) \iff f(x)=x+1$$ che soddisfa!

[Gizeta]

Mi pare funzionare!
Viene dalla gara a squadre di quest'anno.

Commento sulla scelta del livello: L02 perché facile, L03 perché solitamente non si vedono funzionali a Febbraio.