Ricorsioni [L03]

[polarized]

Trovare una formula esplicita per il generico termine (con ragionamento )

\begin{equation}
a_n=-a_{n-1}+\frac n 2, \quad \mbox{con} \, \,a_0=1
\end{equation}



\begin{equation}
a_n=\frac 1 2 a_{n-1}+ \frac 1 n,\quad \mbox{con} \, \,a_0=0
\end{equation}

BONUS:

\begin{equation}
a_n=6 a_{n-1}-2\sum_{i=0}^{n-1}a_i,\quad \mbox{con} \, \,a_0=1
\end{equation}

[Rho33]

Faccio la prima ed il bonus, la seconda mi sembra alquanto ardua (cioè con l'euristica classica non mi esce niente di buono, faccio soltanto la soluzione generale senza il termine noto), sei sicuro del testo vero? Chissà se con le generatrici viene

Testo nascosto:

1)La ricorrenza è :

$$a_n=a_{n-1}+ \dfrac {n}{2}$$

Troviamo innanzitutto la soluzione generale senza il termine noto:

$$a_n=a_{n-1} \iff a_n=\alpha \cdot (-1)^n$$

Ora troviamo la soluzione particolare: dato che il termine è di primo grado, proviamo $cn+d$ ed otteniamo (conti facilerrimi):

$$2cn -c= -2d + \dfrac {n}{2} \iff c=\dfrac {1}{4}, d= \dfrac {1}{8} $$

Quindi la soluzione generale è:

$$a_n= \alpha \cdot (-1)^n+ \dfrac {1}{4}n + \dfrac {1}{8} \iff a_n= \dfrac {7}{8} \cdot (-1)^n+ \dfrac {1}{4}n + \dfrac {1}{8}$$

BONUS: Questa è ancora più semplice! La ricorrenza è:

$$ \begin{equation} a_n=6 a_{n-1}-2\sum_{i=0}^{n-1}a_i,\quad \mbox{con} \, \,a_0=1 \end{equation}$$

$$\begin{equation} a_{n-1}=6 a_{n-2}-2\sum_{i=0}^{n-2}a_i,\quad \mbox{con} \, \,a_0=1 \end{equation}$$

Sottraiamo la seconda dalla prima e la somma si telescopizza, quindi otteniamo con grande gioia:

$$a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}$$

Il polinomio caratteristico è:

$$x^2=5x-6 \Longrightarrow \Delta=1 \iff x_{1,2}=2,3 \iff a_n= \alpha \cdot 2^n + \beta \cdot 3^n$$

Sapendo $a_0=1, a_1=4$ facciamo il sistemino e si ottiene:

$$a_n=(-1) \cdot 2^n + 2 \cdot 3^n$$

[polarized]

Il testo del secondo problema è corretto (puoi verificarlo, è nell'eserciziario del senior dell'anno scorso che senza dubbio hai nei problemi base di algebra 3 a pagina 17)
Mi sono appena accorto che la mia soluzione zoppicava, ti saprò dire se ritrovo qualche buona idea!

EDIT:
Aggiungo un ulteriore bonus

$$a_n=b\cdot a_{n-1}+c^n$$ con $a_0=1$

[Rho33]

Per il nuovo bonus:

Testo nascosto:

Assumendo che $b,c$ siano due costanti distinte, troviamo la soluzione senza termine noto:

$$a_n=b^n \cdot \alpha$$

Con la classica euristica, troviamo la soluzione speciale, cercando $a_n= \lambda \cdot c^n$ che porta a $\lambda= \dfrac {-c}{b-c}$

Quindi:

$$a_n= b^n \cdot \alpha - \dfrac {c^{n+1}}{b-c}$$

Sfruttando la condizione iniziale otteniamo $\alpha = \dfrac {b}{b-c}$ e quindi :

$$a_n= \dfrac {b^{n+1}-c^{n+1}}{b-c}$$

[polarized]

Buono!
Un eventuale consiglio nel caso dovessi formalizzare di più ( o meglio, dei passaggi che io scrivo sempre e che tu fai a mente ma che per capire io devo fare al contrario )
Potrebbe essere utile definire $$x_n=a_{n}-\lambda c^n$$ E cercare $\lambda $ tale che $$x_n=b\cdot x_{n-1} $$ in maniera da poter calcolare con metodi standard bla bla e poi ricavarsi $a_n$.
Sto dicendo una cosa sensata o è davvero un eccesso di puntigliosità?

Per quanto riguarda il problema 2 credo ci sia un errore di battitura nel testo, la soluzione che fornisce Woframalpha è tutto tranne che elementare e non credo si possa fare con metodi standard

[Salvador]

Boh io ho fatto così...
Giunto a $a_{n}=a_{n-2k}+k/2$ dopo varie sostituzioni, ho scritto che per i pari vale $a_{n}=1+\dfrac{n}{4}$ e da quella ho trovato per i dispari $a_{n}=n/4-3/4$. A quel punto, dovendo essere valida per tutti gli n la formula, ho dedotto che doveva esserci un termine costante che si sommava e sottraeva vicendevolmente per pari e dispari, quindi che la formula dovesse essere $a_{n}=\dfrac{n}{4}+k+h(-1)^n$. Sostituendo n=0 ed n=1 ho trovato $k+h=1$ e $k-h=-3/4$, da cui $a_{n}=\dfrac{n}{4}+1+\dfrac{7}{8}(-1)^n$.

[Salvador]

polarized mi spieghi meglio come hai fatto all'inizio?