[L06] Funzioni romene

[Veritasium]

Per ogni intero positivo $n$, determinare la più grande costante $C_n$ con la seguente proprietà: date $n$ funzioni $f_i(x): [0, 1] \longrightarrow \mathbb R \ \ (1 \le i \le n)$ qualsiasi, esistono $n$ reali $x_1, ..., x_n \in [0, 1]$ tali che $ \mid f_1(x_1) + f_2(x_2) + ... + f_n(x_n) - x_1x_2...x_n \mid \ge C_n$

Dopo qualche oretta di lavoro ho una serie di progressi non banali e ovviamente un'idea della soluzione, ma non una dimostrazione completa, allora ho pensato di metterlo qui
La fonte è RMM2010 numero 2, da cui il livello.

[Rho33]

Piccolo dubbio sciocco: presumo $C_n$ sia una costante reale positiva giusto? Altrimenti se essa fosse intera, si ottiene subito che $C_n = 0$ (se vuoi mostro pure un esempio che me lo garantisce)

[Veritasium]

Piccolo dubbio sciocco: presumo $C_n$ sia una costante reale positiva giusto? Altrimenti se essa fosse intera, si ottiene subito che $C_n = 0$ (se vuoi mostro pure un esempio che me lo garantisce)

Beh certo, a parte che sarebbe appunto banale (

Testo nascosto:

[tex]C_n \le \frac{1}{2}[/tex]

è molto semplice da ottenere), ma comunque se non altrimenti specificato "costante" significa numero reale

[bern1-16-4-13]

Questo problema è stato a marcire nell'oblio per troppo tempo, non se lo meritava

Testo nascosto:

Prima di tutto un po' di notazione.
Poniamo $$k=\max\left\{\sum_{i=1}^nf_i\left(x_i\right),\ \ x_i\in\left[0,1\right]\ \forall i\right\},$$ e $$h=\min\left\{\sum_{i=1}^nf_i\left(x_i\right),\ \ x_i\in\left[0,1\right]\ \forall i\right\}.$$
Sia invece $$\Delta f_i=\max\left\{f_i\left(x\right)-f_i\left(y\right),\ \ x,y\in\left[0,1\right]\right\}\ \ \forall i.$$Sia infine $$\mathfrak{D}=\sum_{i=1}^n\Delta f_i.$$ Evidentemente quindi $\mathfrak{D}=k-h$.

Adesso notiamo che $k\ge 1-C_n$, perché altrimenti, per come abbiamo definito $k$, si avrebbe che $$\sum_{i=1}^nf_i\left(1\right)-1\le k-1<-C_n,$$ ovvero $$\left\vert\sum_{i=1}^nf_i\left(1\right)-1\right\vert>C_n,$$che sarebbe assurdo.
Per motivi ancora più ovvi si avrà che $h\ge -C_n$. Quindi $\mathfrak{D}=k-h\le k+C_n$.

Per Pigeonhole esiste $j$ tale che $\Delta f_j\le\frac{\mathfrak{D}}{n}$.
Ma allora $$\max\left\{f_j\left(0\right)+\sum_{i\ne j}f_i\left(x_i\right),\ \ x_i\in\left[0,1\right]\ \forall i\ne j\right\}\ge k-\frac{\mathfrak{D}}{n}\ge k-\frac{k+C_n}{n}.$$ Ma allora per come è definito $C_n$ si avrà che $$C_n\ge \max\left\{f_j\left(0\right)+\sum_{i\ne j}f_i\left(x_i\right),\ \ x_i\in\left[0,1\right]\ \forall i\ne j\right\}\ge k-\frac{k+C_n}{n},$$ quindi $\left(n+1\right)C_n\ge\left(n-1\right)k\ge \left(n-1\right)\left(1-C_n\right)$. Quindi $$C_n\ge\frac{n-1}{2n}.$$


Resta solo da far vedere che effettivamente $C_n=\frac{n-1}{2n}$. Poniamo quindi $$f_i\left(x\right)=\frac{x}{n}-\frac{n-1}{2n^2}\ \ \forall i.$$
Dobbiamo far vedere che per qualsiasi scelta di $\left\{x_1,x_2,...,x_n\right\}\in\left[0,1\right]^n$ si avrà che $$-\frac{n-1}{2n}\le\sum_{i=1}^nf_i\left(x_i\right)-\prod_{i=1}^nx_i\le\frac{n-1}{2n}.$$Notiamo innanzitutto che $$\sum_{i=1}^nf_i\left(x_i\right)-\prod_{i=1}^nx_i=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}-\frac{n-1}{2n}-\prod_{i=1}^nx_i\stackrel{\prod_{i=1}^nx_i\le1}{\ge}\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}-\frac{n-1}{2n}-\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i}\stackrel{AM-GM}{\ge}-\frac{n-1}{2n}.$$Resta quindi solo da far vedere l'altro lato della disuguaglianza.
Non è difficile da dimostrare (se serve poi posto anche la dimostrazione, ma non è nulla di che) che il massimo di $\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}-\prod_{i=1}^nx_i$ si ha quando tutti gli $x_i$ tranne ($WLOG$) $x_1$ sono uguali a $1$ mentre $x_1=0$. Quindi $$\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}-\frac{n-1}{2n}-\prod_{i=1}^nx_i\le\frac{n-1}{n}-\frac{n-1}{2n}-0=\frac{n-1}{2n},$$che era quello che ci serviva per concludere.

[Veritasium]

Perfetta

Edit: ho capito quel $C_n \ge roba \ge C_n$ che è giusto perchè $roba$ è il massimo, quindi è un uguaglianza per definizione.
Ri-edit: vedo adesso che l'avevi comunque tolto, comunque quel che conta è il primo "$\ge$", quindi non ha importanza

[bern1-16-4-13]

Sì, typo
Poi ho sostituito $k_n$ e $h_n$ con $k$ e $h$ rispettivamente perché il pedice $n$ non aveva molto senso, visto che la loro definizione non dipendeva solo da $n$

[Veritasium]

Sì, dipendava anche dalle $f$, ma era chiaro che tu considerassi quelle $f$ che portano all'uguaglianza