[L??] Punto fisso

[Gizeta]

Sia [tex][a,b] \subset \mathbb{R}[/tex] e [tex]f:[a,b] \rightarrow [a,b][/tex] continua, dimostrare che [tex]f[/tex] ha almeno un punto fisso (i.e. esiste [tex]x \in [a,b][/tex] t.c. [tex]f(x)=x[/tex]).

Testo nascosto:

È piuttosto semplice, ma non so quanto possa essere considerato olimpico.

[polarized]

Sia [tex][a,b] \subset \mathbb{R}[/tex] e [tex]f:[a,b] \rightarrow [a,b][/tex] continua

Ti chiedo se la mia interpretazione della notazione è corretta, per il resto concordo sul "non" livello

Testo nascosto:

[tex]f:[a,b] \rightarrow [a,b][/tex] mi dice che il codominio è $[a,b]$ però ciò non mi permette di dire che ha un massimo di ordinata $b$ e un minimo di ascissa $a$, giusto?

Aggiungo la soluzione che mi è uscita

Testo nascosto:

Escludiamo il caso $f(a)=a$ e $f(b)=b$ che è banalmente vero
Osservazione 1: $$f(a)> a \, \, \mbox{così come per ovvi motivi} \, \, f(b)< b$$
Ora considero la funzione $$g(x)=f(x)-x$$
Le disuguaglianze di prima diventano
$$g(a)>0, \, \, g(b)<0$$
Poichè $f$ è continua anche $g$ lo è e per questo posso applicare il teorema di esistenza di uno zero nell'intervallo $[a,b]$ che mi dice che $$\exists c \in ]a,b[ \mbox{tale che } g(c)=0$$
Sfruttando il modo in cui abbiamo definito $g$ significa
$$f(c)=c $$

[Gizeta]

Sì, per tutto!