[L02] Minimo assoluto con barbatrucco

[Gizeta]

Trovare il minimo assoluto della funzione [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] definita da [tex]f(x)=x^{5}(x^{5}-6)(x^{5}-2)(x^{5}+4)[/tex].

[Veritasium]

Trovare il minimo assoluto della funzione [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] definita da [tex]f(x)=x^{5}(x^{5}-6)(x^{5}-2)(x^{5}+4)[/tex].

Immagino che il barbatrucco sia la bigettività di [tex]f(x) = x^5[/tex] che ci permette senza problemi il cambio di variabile [tex]x^5 \longrightarrow x[/tex], ora deriviamo e imponiamo nulla la derivata di [tex]f(x) = x(x - 6)(x - 2)(x +4)[/tex] ottenendo (conti al lettore ) [tex](x - 1)(x - 1 - \sqrt 13)(x - 1 + \sqrt 13) = 0[/tex]. Provando i casi si ha che il minimo si ottiene con [tex]x = 1 \pm \sqrt 13[/tex] ed è [tex]-144[/tex]

[Gizeta]

Immagino che il barbatrucco sia la bigettività di [tex]f(x) = x^5[/tex]

Immagini male, ma il risultato è corretto

Testo nascosto:

[tex]0=-1+1[/tex]
[tex]-6=-1-5[/tex]
[tex]-2=-1-1[/tex]
[tex]4=-1+5[/tex]

[Gizeta]

[tex][(x^5-1)+1][(x^5-1)-1][(x^5-1)-5][(x^5-1)+5]=[/tex]
[tex]=[(x^5-1)^2-1][(x^5-1)^2-25]=[(x^{10}-2x^5-12)+12][(x^{10}-2x^5-12)-12]=[/tex]
[tex]=(x^{10}-2x^5-12)^2-144 \ge -144[/tex]

E si trova un [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] tale che [tex]x^{10}-2x^5-12=0[/tex].