[L03/4] Anche in India risolvono le funzionali!

[Linda_]

Trovare tutte le $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tali che
$$f(x^3+f(y))=x^2f(x)+y$$
Il livello l'ho messo per come l'ho trovato io, non per la fonte...

[Rho33]

Carino, anche la sostituzione che ci sta sotto! Ora vorrei sapere la fonte

Comunque:

Testo nascosto:

Sia $P(x,y)$ il testo. Ponendo $P(0,y)$ si ottiene:

$$f(f(y))=y$$ , da cui $f$ è bigettiva.

Per la surgettività , esiste un $\alpha$ tale che $f(\alpha)=0$, quindi poniamo $P(1,\alpha)$ da cui:

$$f(1)=f(1)+ \alpha \iff \alpha=0$$

Ponendo $P(x,0)$ otteniamo:

$$f(x^3)=x^2f(x) \qquad (\star)$$

Ma allora sfruttando $(\star)$ e $f(f(y))=y$ otteniamo che (usiamo anche che $x^3$ è bigettiva):

$$f(x^3+f(y))=f(x^3)+f(f(y))$$ da cui segue che è una Cauchy (in realtà ci importa solo che sia additiva, perché siamo su $\mathbb{R}$ )

Ora, calcoliamo in due modi diversi una quantità bella, sfruttando tutto ciò che abbiamo trovato in precedenza (a me è venuto al secondo tentativo di provare sta cosa )

$\bullet$ $$f((x+1)^3+(x-1)^3)=f((x+1)^3)+f((x-1)^3)=(x+1)^2f(x+1)+(x-1)^2f(x-1)=(2x^2+2)f(x)+4xf(1)$$

$\bullet$ $$f((x+1)^3+(x-1)^3)=f(2x^3+6x)=2x^2f(x)+6f(x)$$

Da cui:

$$f(x)=xf(1)$$

Sostituiamo dentro il testo ed otteniamo:

$$f(x^3+yf((1))=x^3f(1)+y \iff f(1)x^3+yf(1)^2= x^3f(1)+y \iff f(1)= \pm 1$$

Quindi otteniamo le due soluzioni $f(x)=x, f(x)=-x$ che soddisfano!

[Linda_]

Buona!
È India IMO training camp 2016 TST 4 problema 2