[L05] Polinomi magici (SNS 2016-6)

[mr96]

Sia $p(t)=t^n+x_1t^{n-1}+...+x_n$ con $x_n \neq 0$

i) Determinare tutti i polinomi nella forma sopra indicata di grado $3$ a coefficienti razionali tali che $x_1,...,x_n$ siano anche le radici del polinomio

ii) Mostrare che se $n \geq 6$ non esistono polinomi della forma sopra indicata con coefficienti reali e $x_1,...,x_n$ radici.

[alexthirty]

Manca il suggerimento per il punto 2 che era presente nel testo, altrimenti diventa molto più difficile il problema. Magari mettilo come nascosto

[Giovanni98]

2)

Testo nascosto:

Always by Viète si ha $a_1^2 = a_1^2+ \sum_{i=2}^{n} a_i^2 + 2a_2 \iff 0 = \sum_{i=2}^{n} a_i^2 + 2a_2$ da cui $\sum_{i=3}^{n} a_i^2 \leq 1$ e $|a_2| \leq 2$ (1). Notiamo ora che $|a_1| = |\dfrac{\sum_{i=2}^n a_i}{2}| \leq \dfrac{\sum_{i=2}^n |a_i|}{2} \leq \dfrac{\sqrt{n-1}}{2}$ per $AM-GM$ (2).

Ancora per Viète si ha che $|\prod_{i=1}^{n-1} a_i^2| = 1$.

Notiamo ora che $\dfrac{\sum_{i=3}^{n-1} a_i^2}{n-3} \ge \sqrt[n-3]{\dfrac{1}{a_1^2a_2^2}}$ da cui si ricava che $a_1^2a_2^2 \ge (n-3)^{n-3}$ (3).

Combinando (1) , (2) e (3) si ottiene $(n-3)^{n-3} \leq a_1^2a_2^2 \leq n-1$ quindi $(n-3)^{n-3} \leq n-1$, disuguaglianza ovviamente falsa per ogni $n \ge 6$.

EDIT : Teorema delle radici razionali I hate you.

[polarized]

Soluzione ovviamente corretta, se non che ti devi essere intralciato nei conti del primo caso visto che la seconda terna non funziona (in particolare la somma a coppie non è uguale al corrispondente termine)
In alternativa il primo punto si fa anche spegnendo il cervello e risolvendo il sistema a tre equazioni e tre incognite che ti restituisce in $b$ un polinomio di 4 grado con una sola radice razionale

[Giovanni98]

Tranquillo, me ne sono accorto mentre scrivevo, infatti ho editato

[Rho33]

Due brevi domande sulla soluzione di Giovanni98:

i) Nel primo punto, mi sembra che usi il teorema delle radici razionali, il quale però dovrebbe valere soltanto per polinomi a coefficienti interi, giusto? Infatti anche io avevo fatto il sistema di polarized ricavandomi tutto in funzione di $x_2$, orribile, ma pur sempre un sistema, avendo trovato questo ostacolo Il punto è che pare che il risultato venga lo stesso, e quindi mi chiedo se sia possibile applicarlo anche in questo caso (dai miei conti non sembra, ma io non sono bravo a fare i conti...)

ii) Nel secondo, avevo ricavato praticamente tutto ma mi mancava la stima iniziale $|a_2| \leq 2$ (ironia della sorte, AM-GM fila tranquillamente anche senza, così come tutto il resto, tranne proprio la conclusione finale). Cioè mi mancava poter fare l'ultima disuguaglianza per poter elidere il $4$ a denominatore (la stima dal basso già l'avevo):

$$a_1^2 \cdot a_2^2 \leq \dfrac {n-1}{4} \cdot a_2^2 \leq n-1$$


Qualcuno mi potrebbe dire come si ricava (sperando di non essermi perso in un bicchier d'acqua ...)?

[Giovanni98]

Se $|a_2| >2$ hai $a_2^2 + 2a_2 >0$ pertanto $\sum_{i=2}^n a_i^2 + 2a_2 >0$ dal momento che $a_2^2 + 2a_2> 0$ e che $\sum_{i=3}^{n} a_i^2 \ge 0$.

Riguardo il primo punto c'hai ragione, mi ricordavo male l'enunciato del Teorema.

[Rho33]

Sì mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua Per il teorema: pazienza, capita, non odiarlo per questo