[L05] Polinomi magici (SNS 2016-6)
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Sia $p(t)=t^n+x_1t^{n-1}+...+x_n$ con $x_n \neq 0$
i) Determinare tutti i polinomi nella forma sopra indicata di grado $3$ a coefficienti razionali tali che $x_1,...,x_n$ siano anche le radici del polinomio
ii) Mostrare che se $n \geq 6$ non esistono polinomi della forma sopra indicata con coefficienti reali e $x_1,...,x_n$ radici.
i) Determinare tutti i polinomi nella forma sopra indicata di grado $3$ a coefficienti razionali tali che $x_1,...,x_n$ siano anche le radici del polinomio
ii) Mostrare che se $n \geq 6$ non esistono polinomi della forma sopra indicata con coefficienti reali e $x_1,...,x_n$ radici.
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Re: [L05] Polinomi magici (SNS 2016-6)
Manca il suggerimento per il punto 2 che era presente nel testo, altrimenti diventa molto più difficile il problema. Magari mettilo come nascosto
- Giovanni98
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Re: [L05] Polinomi magici (SNS 2016-6)
2)
EDIT : Teorema delle radici razionali I hate you.
Testo nascosto:
Ultima modifica di Giovanni98 il 28/08/2016, 19:07, modificato 3 volte in totale.
Re: [L05] Polinomi magici (SNS 2016-6)
Soluzione ovviamente corretta, se non che ti devi essere intralciato nei conti del primo caso visto che la seconda terna non funziona (in particolare la somma a coppie non è uguale al corrispondente termine)
In alternativa il primo punto si fa anche spegnendo il cervello e risolvendo il sistema a tre equazioni e tre incognite che ti restituisce in $b$ un polinomio di 4 grado con una sola radice razionale
In alternativa il primo punto si fa anche spegnendo il cervello e risolvendo il sistema a tre equazioni e tre incognite che ti restituisce in $b$ un polinomio di 4 grado con una sola radice razionale
"In geometria tutto con Pitagora, in algebra tutto con Tartaglia"
- Giovanni98
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Re: [L05] Polinomi magici (SNS 2016-6)
Tranquillo, me ne sono accorto mentre scrivevo, infatti ho editato
Re: [L05] Polinomi magici (SNS 2016-6)
Due brevi domande sulla soluzione di Giovanni98:
i) Nel primo punto, mi sembra che usi il teorema delle radici razionali, il quale però dovrebbe valere soltanto per polinomi a coefficienti interi, giusto? Infatti anche io avevo fatto il sistema di polarized ricavandomi tutto in funzione di $x_2$, orribile, ma pur sempre un sistema, avendo trovato questo ostacolo Il punto è che pare che il risultato venga lo stesso, e quindi mi chiedo se sia possibile applicarlo anche in questo caso (dai miei conti non sembra, ma io non sono bravo a fare i conti...)
ii) Nel secondo, avevo ricavato praticamente tutto ma mi mancava la stima iniziale $|a_2| \leq 2$ (ironia della sorte, AM-GM fila tranquillamente anche senza, così come tutto il resto, tranne proprio la conclusione finale). Cioè mi mancava poter fare l'ultima disuguaglianza per poter elidere il $4$ a denominatore (la stima dal basso già l'avevo):
$$a_1^2 \cdot a_2^2 \leq \dfrac {n-1}{4} \cdot a_2^2 \leq n-1$$
Qualcuno mi potrebbe dire come si ricava (sperando di non essermi perso in un bicchier d'acqua ...)?
i) Nel primo punto, mi sembra che usi il teorema delle radici razionali, il quale però dovrebbe valere soltanto per polinomi a coefficienti interi, giusto? Infatti anche io avevo fatto il sistema di polarized ricavandomi tutto in funzione di $x_2$, orribile, ma pur sempre un sistema, avendo trovato questo ostacolo Il punto è che pare che il risultato venga lo stesso, e quindi mi chiedo se sia possibile applicarlo anche in questo caso (dai miei conti non sembra, ma io non sono bravo a fare i conti...)
ii) Nel secondo, avevo ricavato praticamente tutto ma mi mancava la stima iniziale $|a_2| \leq 2$ (ironia della sorte, AM-GM fila tranquillamente anche senza, così come tutto il resto, tranne proprio la conclusione finale). Cioè mi mancava poter fare l'ultima disuguaglianza per poter elidere il $4$ a denominatore (la stima dal basso già l'avevo):
$$a_1^2 \cdot a_2^2 \leq \dfrac {n-1}{4} \cdot a_2^2 \leq n-1$$
Qualcuno mi potrebbe dire come si ricava (sperando di non essermi perso in un bicchier d'acqua ...)?
- Giovanni98
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Re: [L05] Polinomi magici (SNS 2016-6)
Se $|a_2| >2$ hai $a_2^2 + 2a_2 >0$ pertanto $\sum_{i=2}^n a_i^2 + 2a_2 >0$ dal momento che $a_2^2 + 2a_2> 0$ e che $\sum_{i=3}^{n} a_i^2 \ge 0$.
Riguardo il primo punto c'hai ragione, mi ricordavo male l'enunciato del Teorema.
Riguardo il primo punto c'hai ragione, mi ricordavo male l'enunciato del Teorema.
Re: [L05] Polinomi magici (SNS 2016-6)
Sì mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua Per il teorema: pazienza, capita, non odiarlo per questo