Propongo un altro problema con soluzione guidata, questo è un IMO (se non ricordo male).
Determinare tutte le funzioni [tex]f:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}[/tex] tali che
1) [tex]f(2)=0[/tex];
2) [tex]f(x) \not = 0[/tex] per [tex]0 \le x < 2[/tex];
3) [tex]f(xf(y))f(y)=f(x+y)[/tex][tex]\forall x,y \ge 0[/tex]
Hint 1:
Testo nascosto:
Provaci da solo!
Hint 2:
Testo nascosto:
Sia [tex]p(x,y)[/tex] l'espressione del punto 3); sembra fortunato [tex]p(x,2)[/tex]...
Hint 3:
Testo nascosto:
...dato che porta a [tex]f(x+2)=0[/tex][tex]\forall x \ge 0[/tex], ossia [tex]f(x)=0[/tex][tex]\forall x \ge 2[/tex]
Hint 4:
Testo nascosto:
Abbiamo "annullato un lato", proviamo ad annullare l'altro: prendiamo [tex]x,y \ge 0[/tex] tali che [tex]x+y=2[/tex], allora...
Hint 5:
Testo nascosto:
...[tex]0\le x,y < 2[/tex], dunque [tex]f(y) \not = 0[/tex] per 2) e [tex]f(xf(y))f(y)=0 \Rightarrow f(xf(y))=0 \iff xf(y) \ge 2[/tex]
Hint 6:
Testo nascosto:
[tex]\displaystyle f(y) \ge \frac{2}{2-y}[/tex] per [tex]0 \le y < 2[/tex]
Suggerisco ora di fermarsi un attimo, prendere un po' di fiato e fare una bella congettura
Hint 7:
Testo nascosto:
[tex]\displaystyle f(y) = \frac{2}{2-y}[/tex] per [tex]0 \le y < 2[/tex], supportata dal fatto che [tex]f(0)=1[/tex] (e questo da dove salta fuori?)
Hint 8:
Testo nascosto:
Vogliamo mostrare che supporre [tex]\displaystyle f(y)> \frac{2}{2-y}[/tex] per un qualche [tex]0 \le y <2[/tex] conduce ad un assurdo
Hint 9:
Testo nascosto:
Cominciamo col notare che [tex]\displaystyle y \mapsto \frac{2}{2-y}[/tex] è bigettiva dai reali non nulli in se stessi, quindi in particolare scelto [tex]y_1 \in [0,2)[/tex] esiste un [tex]y_2 \in \mathbb{R}-\{0\}[/tex] tale che [tex]\displaystyle f(y_1)=\frac{2}{2-y_2}[/tex]; come è fatto [tex]y_2[/tex]?
Hint 10:
Testo nascosto:
Già, [tex]y_1<y_2<2[/tex]
Hint 11:
Testo nascosto:
Esiste [tex]x_0 \in (0,2)[/tex] tale che [tex]x_0+y_2=2[/tex]
Hint 12:
Testo nascosto:
[tex]p(2-y_2,y_1)[/tex], che porta a [tex]f(x_0+y_1)=0 \iff x_0+y_1 \ge 2[/tex], ma...
Hint 13:
Testo nascosto:
[tex]...x_0+y_1<x_0+y_2=2[/tex], assurdo!
Fine.
Testo nascosto:
Eh, no, perdiamo punti non verificando che tale funzione definita a tratti trovata soddisfa le condizioni del testo?
Si, è un IMO degli anni 80 o 90, e avevamo anche considerato l'idea di metterne una versione un pizzico più difficile nella simulazione OliMaTo di quest'anno, ma poi abbiamo preferito non farlo visto che le funzionali non sono molto comuni a Cesenatico... Detto ciò, non ho letto gli hint, ma c'è una soluzione che lo uccide in due righe
Pure quella proposta da me è relativamente corta, ma non so se riuscirei a farla stare in due righe (verifica esclusa, ovviamente), quantomeno non con tutti i dettagli!
"Un pizzico più difficile" quanto? [i.e. se non è un segreto di Stato, puoi metterlo come rilancio?]
Diciamo che ho un piccolo progetto e la parte più complicata al momento mi pare trovare qualcosa che possa non risultare troppo scoraggiante per i neofiti e contemporaneamente sufficientemente non noiosa per i maggiormente esperti, e l'introduzione di piccole varianti un pelo più difficili di uno stesso problema o la sfida alla ricerca di una soluzione più immediata sembrerebbero dei bei metodi.
