Bigezione particolare

[Pollo]

Trovare una bigezione tra R e R/{0}. Una tale bigezione può essere continua?

[Giovanni98]

1) $f(x) = x$ per ogni $x \in \mathbb{R}/\mathbb{N}$ e $f(x)=x+1$ per ogni $x \in \mathbb{N}$.

2) No. Supponiamo $f$ essere una bigezione ed essere continua. Allora per il teorema della continuità vale $f^{-1}$ continua, ma $f^{-1}$ ha un punto di discontinuità in $x=0$ da cui la nostra tesi.

[Pollo]

Grazie! Il primo punto va bene, per il secondo: cosa afferma il teorema della continuità di preciso che non l'ho trovato su internet?

[Giovanni98]

http://www.dmi.unipg.it/amart/corsi/clf ... scheda.pdf

[Gizeta]

Uhm, non è mica vero in generale che [tex]A \stackrel{f}{\rightarrow} B[/tex] continua e bigettiva è un omeomorfismo, lo è se aggiungiamo alle ipotesi che [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] siano (spazi) metrizzabili e compatti; nel caso del link postato va tutto liscio perché in generale un sottoinsieme di [tex]R^n[/tex], [tex]n \ge 1[/tex], è compatto se e solo se è chiuso e limitato, quindi è un attimo verificare che ogni intervallo [tex][a,b] \subset \mathbb{R}[/tex], [tex]a<b[/tex], è compatto in [tex]\mathbb{R}[/tex], inoltre [tex]\mathbb{R}[/tex] è metrizzabile quindi lo è pure ogni suo sottoinsieme mediante metrica indotta, infine una funzione continua porta compatti in compatti, dunque pure [tex]f([a,b])[/tex] è compatto.

p.s. Ci sarebbe pure da discutere sull'uso improprio del termine inversa, in particolare non è vero che [tex]f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}[/tex] iniettiva è necessariamente invertibile (una funzione [tex]A \stackrel{f}{\rightarrow} B[/tex] si dice invertibile se e solo se esiste [tex]B \stackrel{g}{\rightarrow} A[/tex] tale che [tex]g \circ f = 1_{A}[/tex] e [tex]f \circ g = 1_{B}[/tex]; si mostra facilmente che, se esiste, tale funzione è unica), lo è necessariamente se è pure suriettiva; se una funzione [tex]A \stackrel{f}{\rightarrow} B[/tex] è iniettiva possiamo dire solo che esiste un'inversa sinistra, ossia [tex]B \stackrel{g}{\rightarrow} A[/tex] tale che [tex]g \circ f= 1_{A}[/tex], che non necessariamente è unica e NON soddisfa [tex]f \circ g = 1_{B}[/tex] a meno che [tex]f[/tex] non sia pure suriettiva.

Quella che nel pdf viene chiamata a sproposito inversa di [tex]f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}[/tex] è in realtà l'inversa di [tex]f\mid^{f([a,b])}:[a,b] \rightarrow f([a,b])[/tex], e queste funzioni dal punto di vista formale non sono per niente uguali (tanto è vero che la seconda è bigettiva e la prima no).

Edit: Avevo scritto "[tex]n >1[/tex]" invece di "[tex]n \ge 1[/tex]".

[enigma]

Visto che è aperto l'angolo pignoleria: su $\mathbb R \setminus \left \{ 0 \right \}$ che topologia ci metti, quella di sottospazio?
Suggerimento per il 2:

Testo nascosto:

Uno è connesso e l'altro no...

[Gizeta]

.