[L03/04] A volte i conti sono belli

[Gerald Lambeau]

Dimostrare che per ogni terna di reali positivi $a, b, c$ vale
$\displaystyle \frac{a^2b(b-c)}{a+b}+\frac{b^2c(c-a)}{b+c}+\frac{c^2a(a-b)}{c+a} \ge 0$.

[SaraAA]

Testo nascosto:

$$\sum_{cyc}\frac{a^2b(b - c)}{a + b} \ge 0 \\
\Leftrightarrow \quad \sum_{cyc} \left(\frac{a^2b(b - c)}{a + b} + abc\right) \ge 3abc \\
\Leftrightarrow \quad \sum_{cyc} \frac{ab^2(c + a)}{a + b} \ge 3abc$$
Ma $$\sum_{cyc} \frac{a^2b(c + a)}{a + b} \stackrel{\text{AM-GM}}{\ge} 3\sqrt[3]{\frac{a^2b(c + a)}{a + b} \cdot \frac{b^2c(a + b)}{b + c} \cdot \frac{c^2a(b + c)}{c + a}} = 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3} = 3abc$$ da cui la tesi.

Secondo voi se fosse stato in un GST quanto mi avrebbero dato?

[Gerald Lambeau]

7 punti, è perfetta (e pure bella)!
Io invece ho allegramente sviluppato i conti fino a trovarmi $\displaystyle \sum_{cyc} a^3b^3 \ge \sum_{cyc} a^3b^2c$, sostituendo $ab=x$ e cicliche si conclude per riarrangiamento.