Consideriamo un intero positivo $k$ e un $k$-insieme $A$ con "interi caratteristici" (lasciameli chiamare così anche dopo) $x_1 < x_2 < \cdots < x_k$. Sia poi $N$ un intero positivo. Un po' di notazione random che non fa mai male: per $i = 2, \: \dots, \: k$, definiamo $d_i = x_i - x_1$; in particolare $0 < d_2 < \cdots < d_k$. Siano infine $B = A \cap [1, \: N]$ e $s = \lvert B\rvert$.
Quanto è grande $s$? Notiamo che:
- per ogni $n \in B$ e $2 \le i \le k$, il numero $m = n + d_i$ non è in $B$, perché altrimenti si avrebbe $n + x_i = m + x_1$;
- per ogni $n, \: m \in B$ e $2 \le i, \: j \le k$, i numeri $n + d_i$ e $m + d_j$ sono distinti, perché altrimenti $n + x_i = m + x_j$;
- l'insieme $X = \{n + d_i: \: n \in B, \: 2 \le i \le k\}$ contiene non più di $(k - 1)d_k$ interi maggiori di $N$.
Da queste cose segue che $$N \ge \left\lvert (B \cup X) \cap [1, \: \dots, \: N]\right\rvert \ge s + (k - 1)s - (k - 1)d_k \implies s \le \frac{N + (k - 1)d_k}{k}$$
Torniamo ora al main problem. Fissiamo $N \in \mathbb{Z}^+$ e, per ogni $i = 1, \: \dots, \: m$, definiamo $B_i = A_i \cap [1, \: N]$, $s_i = \lvert B_i\rvert$ e $D_i$ come la massima differenza di due interi caratteristici di $A_i$. E per finire, chiamiamo $\displaystyle c = \max_{1 \le i \le m} \{(k_i - 1)D_i\}$.
Siccome l'unione degli $A_i$ è $\mathbb{Z}$, in particolare tale unione copre $\{1, \: 2, \: \dots, \: N\}$, quindi $$s_1 + \cdots + s_m \ge N \tag{1}$$
D'altra parte, per quanto dimostrato prima, $$s_1 + \cdots + s_m \le \sum_{i = 1}^m \frac{N + (k_i - 1)D_i}{k_i} \le (N + c)\left(\frac{1}{k_1} + \cdots + \frac{1}{k_m}\right) \tag{2}$$
Da $(1)$ e $(2)$ abbiamo $$(N + c)\sum_{i = 1}^m \frac{1}{k_i} \ge \sum_{i = 1}^m s_m \ge N \implies \sum_{i = 1}^m \frac{1}{k_i} \ge \frac{N}{N + c}$$
Ma questa disuguaglianza deve valere per $N$ grande a piacere, da cui necessariamente $\displaystyle \sum_{i = 1}^m \frac{1}{k_i} \ge 1$.
