61. Algebra?

[Giovanni98]

Siano $a,b,c \ge 0$ reali tali che $$a + b + c + abc = 4$$

Dimostrare che $$ \sum_{cyc} ab \leq \sum_{cyc} a \leq \dfrac{\sum_{cyc} a^2 + 3abc}{2}$$

[Salvador]

Con cyc che si intende?

[Giovanni98]

Devi ciclare le variabili. Esempio $\sum_{cyc} a = a+b+c$ e $\sum_{cyc} ab = ab+ac+bc$ (nel caso in cui le variabili siano $a,b,c$ , come nel nostro caso).

[Salvador]

Ah ok.
Domani lo guardo un po'

[Salvador]

Boh non saprei. Ho dedotto solo che se $a \ge b \ge c$, allora sono assurde sia $c \ge 1$ sia $a \le 1$ (escluso il caso $a=b=c=1$), e che la prima parte equivale a $a(b-1)+b(c-1)+c(a-1)\le0$, che sono cose immagino tu già sappia.