L[04/05] Usare ipotesi diverse dalle originali

[Gerald Lambeau]

Penso sia più L[05] che L[04], ma non ne sono così sicuro.

Sia $S=\{x \in \mathbb{R} : x>-1 \}$ l'insieme dei reali maggiori di $-1$. Trovare tutte le funzioni monotone $f: S \rightarrow S$ tali che
$f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$.

[Giovanni98]

Concordo sul fatto che sia più L05 (if my solution is correct).

Comunque

Testo nascosto:

Per prima cosa dimostriamo che $f$ è iniettiva. Ponendo $x=0$ otteniamo $f(f(y)) = y + yf(0) + f(0)$ (1). Ora supponiamo per assurdo che $f$ non sia iniettiva, allora esistono $m \ne n \in S$ tali che $f(m)=f(n)$. Ponendo $y=m$ e $y=n$ in (1) otteniamo che $m+mf(0) = n+nf(0) \iff f(0)=-1$ , assurdo per come è definita $f$. Ne consegue appunto l'iniettività di $f$.

Grazie all'iniettività della nostra funzione si ottiene ponendo in (1) $y=0$ che $f(f(0)) = f(0) \Rightarrow f(0)=0$.
Sostituendo ora $f(0)=0$ in (1) otteniamo $f(f(x)) = x$ per ogni $x \in S$. Ora, poichè $f$ è monotona ed iniettiva o è sempre crescente o è sempre decrescente. Se $f(x)$ è crescente allora $f(x) \leq x$. Per dimostrarlo ragioniamo nuovamente per assurdo...Supponiamo quindi che esista $m \in S$ tale che $f(m)>m$, ma allora per la crescenza e iniettività di $f$ si ha che $f(f(m))>f(m)$ ma $f(f(m))=m$ da cui $m > m$, assurdo. Quindi $f(x) \leq x \forall x \in S$. Se $f$ è decrescente analogamente si dimostra che $f(x) \geq x$.

Ora supponiamo che $f$ sia crescente, allora per ogni coppia $(x,y) \in S^2$ si ha che $f(x+f(y)+xf(y)) = y + f(x) + yf(x) \leq x + f(y) + xf(y)$. Ma chiaramente l'ultima disuguaglianza vale se e solo se vale l'uguaglianza, per l'ovvia simmetria. Quindi $ y + f(x) + yf(x) = x + f(y) + xf(y) $. Ponendo $y=0$ si ottiene $f(x)=x$ per ogni $x \in S$, che ovviamente funziona. Supponendo che $f$ sia decrescente e ragionando in maniera analoga si ricava ancora che $f(x)=x$ che però non rispetta la proprietà di decrescenza, ma sti cazzi. L'unica funzione che soddisfa quindi è $f(x)=x \forall x \in S$.

[Gerald Lambeau]

Manca una soluzione. I ragionamenti che fai non funzionano su $f$ decrescente, hai un attimo confuso le ipotesi per la decrescenza.

[Giovanni98]

E c'hai ragione, piccolo errore di distrazione (in realtà piu che distrazione dopo aver fatto il caso della crescenza ho pensato vabbè sarà la stessa cosa anche per la decrescenza, e invece... lol).

Comunque :

Testo nascosto:

Supponiamo ora che $f$ sia decrescente, allora abbiamo che $f(m) > f(n) \iff m < n$. Forti di ciò, dimostriamo che se $f(A) = A$ allora $A=0$. Supponiamo $A>0$, allora abbiamo che $f(A) < 0$ ma poichè $f(A) = A$ abbiamo $0 < A < 0$ , assurdo. Se $A < 0$ ragioniamo in maniera analoga (stavolta ho verificato xD) e otteniamo un altro assurdo. Quindi abbiamo dimostrato il nostro lemmuccio. Ora , poniamo $y=x$ nell'equazione del testo, otteniamo così $$f(x+f(x)x+f(x))=x+f(x)x+f(x)$$

Per ciò che abbiamo dimostrato in precedenza deve valere $x+f(x)x+f(x) = 0$ che porta a $f(x) = -\frac{x}{x+1}$ che verifica, quindi corrisponde all'altra soluzione.

[Gerald Lambeau]

Giusta!
Il livello lo lascio così perché la soluzione che hai trovato tu non è poi così difficile, la mia invece era:
$y=f(z) \Rightarrow f((x+1)(z+1)-1))=(f(x)+1)(f(z)+1)-1$. Chiamando $x+1=u, z+1=v, g(x+1)=f(x)+1$ con $g: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ otteniamo $g(uv)=g(u)g(v)$.
Ora $g$ mantiene la monotonia e anche le sostituzioni che si fanno per ricondursi alla Cauchy la mantengono, verificando che non ci siano problemi con gli insiemi di partenza e di arrivo delle varie funzioni che usiamo di volta in volta si conclude.

[Giovanni98]

Scusami, ma per porre $y=f(z)$ non devi avere che $f$ sia suriettiva? Una funzione monotona non è sempre suriettiva, cioè deve essere "strettamente" monotona (magari non significa niente ma credo tu abbia compreso cosa io voglia dire). Vabbè ad ogni modo penso suppongo tu abbia dimostrato che $f$ è suriettiva e che te lo sia semplicemente scordato di scrivere. Comunque molto bella ed ingegnosa.

Fonte?

[Gerald Lambeau]

Non l'ho scritto ma come te trovo $f(f(x))=x$ da cui $f$ suriettiva, però lo uso quando vado a sostituire per ottenere quello che voglio, non per porre $y=f(z)$.
Per quello non mi serve la suriettività perché io non voglio trovare uno $z$ per ogni $y$, ma un $y$ per ogni $z$, che è sempre definito all'interno di $S$.
La fonte è IMO 1994-5 (revisited).

[Gerald Lambeau]

Una funzione monotona non è sempre suriettiva, cioè deve essere "strettamente" monotona

Tra parentesi, questo non è vero se la funzione fa dei "salti", in particolare la monotonia non ti dice nulla (potrebbe benissimo essere costante), infatti nel problema ci siamo dovuti trovare tutto, la monotonia stretta implica iniettività ma non suriettività.