L[04/05] Usare ipotesi diverse dalle originali
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L[04/05] Usare ipotesi diverse dalle originali
Penso sia più L[05] che L[04], ma non ne sono così sicuro.
Sia $S=\{x \in \mathbb{R} : x>-1 \}$ l'insieme dei reali maggiori di $-1$. Trovare tutte le funzioni monotone $f: S \rightarrow S$ tali che
$f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$.
Sia $S=\{x \in \mathbb{R} : x>-1 \}$ l'insieme dei reali maggiori di $-1$. Trovare tutte le funzioni monotone $f: S \rightarrow S$ tali che
$f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: L[04/05] Usare ipotesi diverse dalle originali
Concordo sul fatto che sia più L05 (if my solution is correct).
Comunque
Comunque
Testo nascosto:
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Re: L[04/05] Usare ipotesi diverse dalle originali
Manca una soluzione. I ragionamenti che fai non funzionano su $f$ decrescente, hai un attimo confuso le ipotesi per la decrescenza.
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Re: L[04/05] Usare ipotesi diverse dalle originali
E c'hai ragione, piccolo errore di distrazione (in realtà piu che distrazione dopo aver fatto il caso della crescenza ho pensato vabbè sarà la stessa cosa anche per la decrescenza, e invece... lol).
Comunque :
Comunque :
Testo nascosto:
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Re: L[04/05] Usare ipotesi diverse dalle originali
Giusta!
Il livello lo lascio così perché la soluzione che hai trovato tu non è poi così difficile, la mia invece era:
$y=f(z) \Rightarrow f((x+1)(z+1)-1))=(f(x)+1)(f(z)+1)-1$. Chiamando $x+1=u, z+1=v, g(x+1)=f(x)+1$ con $g: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ otteniamo $g(uv)=g(u)g(v)$.
Ora $g$ mantiene la monotonia e anche le sostituzioni che si fanno per ricondursi alla Cauchy la mantengono, verificando che non ci siano problemi con gli insiemi di partenza e di arrivo delle varie funzioni che usiamo di volta in volta si conclude.
Il livello lo lascio così perché la soluzione che hai trovato tu non è poi così difficile, la mia invece era:
$y=f(z) \Rightarrow f((x+1)(z+1)-1))=(f(x)+1)(f(z)+1)-1$. Chiamando $x+1=u, z+1=v, g(x+1)=f(x)+1$ con $g: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ otteniamo $g(uv)=g(u)g(v)$.
Ora $g$ mantiene la monotonia e anche le sostituzioni che si fanno per ricondursi alla Cauchy la mantengono, verificando che non ci siano problemi con gli insiemi di partenza e di arrivo delle varie funzioni che usiamo di volta in volta si conclude.
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Re: L[04/05] Usare ipotesi diverse dalle originali
Scusami, ma per porre $y=f(z)$ non devi avere che $f$ sia suriettiva? Una funzione monotona non è sempre suriettiva, cioè deve essere "strettamente" monotona (magari non significa niente ma credo tu abbia compreso cosa io voglia dire). Vabbè ad ogni modo penso suppongo tu abbia dimostrato che $f$ è suriettiva e che te lo sia semplicemente scordato di scrivere. Comunque molto bella ed ingegnosa.
Fonte?
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Re: L[04/05] Usare ipotesi diverse dalle originali
Non l'ho scritto ma come te trovo $f(f(x))=x$ da cui $f$ suriettiva, però lo uso quando vado a sostituire per ottenere quello che voglio, non per porre $y=f(z)$.
Per quello non mi serve la suriettività perché io non voglio trovare uno $z$ per ogni $y$, ma un $y$ per ogni $z$, che è sempre definito all'interno di $S$.
La fonte è IMO 1994-5 (revisited).
Per quello non mi serve la suriettività perché io non voglio trovare uno $z$ per ogni $y$, ma un $y$ per ogni $z$, che è sempre definito all'interno di $S$.
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Re: L[04/05] Usare ipotesi diverse dalle originali
Tra parentesi, questo non è vero se la funzione fa dei "salti", in particolare la monotonia non ti dice nulla (potrebbe benissimo essere costante), infatti nel problema ci siamo dovuti trovare tutto, la monotonia stretta implica iniettività ma non suriettività.Giovanni98 ha scritto:Una funzione monotona non è sempre suriettiva, cioè deve essere "strettamente" monotona
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