Magia $2.0$

[bern1-16-4-13]

Sia $n$ un intero positivo. Data una sequenza $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n - 1}$ tale che $\varepsilon_i = 0\ \vee\ \varepsilon_i = 1\ \ \forall\ \ 1\le i\le n-1$, le sequenze $a_0,\dots,a_n$ e $b_0,\dots,b_n$ sono costruite attraverso le seguenti regole:
$$a_0 = b_0 = 1, \quad a_1 = b_1 = 7,$$
$$\begin{array}{lll}
a_{i+1} =
\begin{cases}
2a_{i-1} + 3a_i, \\
3a_{i-1} + a_i,
\end{cases} &
\begin{array}{l}
\text{se } \varepsilon_i = 0, \\
\text{se } \varepsilon_i = 1, \end{array}
& \forall\ \ i = 1, \dots, n - 1, \\[15pt]
b_{i+1}=
\begin{cases}
2b_{i-1} + 3b_i, \\
3b_{i-1} + b_i,
\end{cases} &
\begin{array}{l}
\text{se } \varepsilon_{n-i} = 0, \\
\text{se } \varepsilon_{n-i} = 1, \end{array}
& \forall\ \ i = 1, \dots, n - 1.
\end{array}$$

Dimostrare che allora $a_n=b_n$.

[Dudin]

Non ci ho capito niente