Bellissimo.
- Giovanni98
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- Iscritto il: 27/11/2014, 14:30
Bellissimo.
Determinare tutte le funzioni $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tali che $$f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x)- 1$$per ogni $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.
Re: Bellissimo.
Not bad indeed...
Testo nascosto:
Non so con quali armi si combatterà la Terza Guerra Mondiale, ma la Quarta sì: con bastoni e pietre.
Albert Einstein
Albert Einstein
Re: Bellissimo.
Io ho fatto diverso e non so se è giusto, o comunque non assicura che quella sia l'unica soluzione...
Ditemi se va bene e - in caso affermativo - come finirla.
Testo nascosto:
Re: Bellissimo.
Forse potrei provare così:
Se non esiste nessun punto $x_0$ in cui $f$ si annulla, allora bisogna supporla sempre positiva o sempre negativa. Allora si ha $f(x-h-1)=f(h+1)+xh+x+f(x)-1$ e $f(x-h)=f(h)+xh+f(x)-1$ e $f(x-h)-f(x-h-1)=f(h)-f(h+1)-x$, con $h$ preso in modo che la funzione sia definita per $h$ e $h+1$. Se $f(h)-f(h+1)<0$ allora $f(x)$ è decrescente per $x$ positivo, dunque non esiste un minimo positivo. Se $f(h)-f(h+1)>0$, questo è pur sempre un valore finito, quindi per $x$ sufficientemente grande la funzione sarà decrescente, e dunque di nuovo non avrà minimi positivi. Forse un ragionamento analogo permetterà di concludere che non può nemmeno essere sempre negativa.
Se non esiste nessun punto $x_0$ in cui $f$ si annulla, allora bisogna supporla sempre positiva o sempre negativa. Allora si ha $f(x-h-1)=f(h+1)+xh+x+f(x)-1$ e $f(x-h)=f(h)+xh+f(x)-1$ e $f(x-h)-f(x-h-1)=f(h)-f(h+1)-x$, con $h$ preso in modo che la funzione sia definita per $h$ e $h+1$. Se $f(h)-f(h+1)<0$ allora $f(x)$ è decrescente per $x$ positivo, dunque non esiste un minimo positivo. Se $f(h)-f(h+1)>0$, questo è pur sempre un valore finito, quindi per $x$ sufficientemente grande la funzione sarà decrescente, e dunque di nuovo non avrà minimi positivi. Forse un ragionamento analogo permetterà di concludere che non può nemmeno essere sempre negativa.