[L04] Own (ma probabilmente anche no) very easy

[Gerald Lambeau]

Siano $x, y, z$ reali tali che $xy+yz+zx=1$, dimostrare che

$\displaystyle \frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1} \ge \frac{27}{4x^2+4y^2+4z^2+8}$.

Se Lasker non ha sbagliato qualcosa dovrebbe essere giusta.

[Lasker]

Secondo me non serve l'ipotesi $x,y,z> 0$!

[Gerald Lambeau]

EDIT: ho letto male il tuo messaggio

[Gerald Lambeau]

Non so, per come l'ho fatta io serve, casomai dimmi come l'hai fatta tu e vedo se si possono modificare le ipotesi.
In ogni caso ce ne devono essere almeno due diversi da $0$.

[Lasker]

Hai un MP! Comunque, o io ho preso una cantonata, oppure hai preso una strada intricata

[Gerald Lambeau]

Messaggio modificato con delle ipotesi meno generose, grazie al buon Lasker che ha trovato una soluzione bella! Il livello rimane quello.

Comunque non avevo preso una strada intricata, io l'avevo provata omogenea e senza il vincolo, dopo ho aggiunto il vincolo per non farla essere troppo banale, poi si è rivelata essere una disuguaglianza estesa a tutti i reali.

Si noti come quella omogenea senza il vincolo non è detto che valga per tutti i reali perché non sappiamo se si può ridurre a questa: $xy+yz+zx$ potrebbe essere negativo e l'omogeneità non ci permette di cambiargli il segno. Ora provo a vedere cosa sarebbe venuto fuori.

[Gerald Lambeau]

Effettivamente senza il vincolo, se non ci fosse l'ipotesi che siano positivi, si trova un controesempio.

[Lasker]

Se Lasker non ha sbagliato qualcosa dovrebbe essere giusta

wp m8.

[Gerald Lambeau]

Se Lasker non ha sbagliato qualcosa dovrebbe essere giusta

wp m8.

[Salvador]

Può essere utile trasformare la disuguaglianza in $\dfrac{1}{27} (\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}) \ge \dfrac{1}{(2x+2y+2z)^2}$ e poi cercare di applicare $(xy+xz+yz)^2$, che sappiamo essere 1?
(Il 27 suggerisce anche l'idea di un cubi da qualche parte. È giusta?)