Equazione funzionale

[Salvador]

Determinare tutte le funzioni continue che soddisfano f(x+y)=f(sin(x))+f(sin(y)). Come posso risolverlo?

[Lasker]

Assumendo che $f$ vada da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$

Testo nascosto:

L'unica soluzione è la funzione nulla.

Testo nascosto:

Devi fare le tre sostituzioni più ovvie e mettere assieme le informazioni che danno

Testo nascosto:

Dimostra che $f(x)$ è periodica usando i fatti di prima, quindi...

Testo nascosto:

Restringiti ad un intervallo chiuso di $\mathbb{R}$, tanto fuori da lì la funzione sai com'è fatta se la conosci in questo $[a,b]$... c'è un famoso teorema di analisi 1 (che viene enunciato anche al liceo se non sbaglio, visto che serve a giustificare alcune cose del programma di quinta) che ci dice cose sulle funzioni continue su un intervallo chiuso? A questo punto basta guardare le nostre tre informazioni "ovvie" e vedere che si contraddice il teorema se la $f$ è non nulla!

L'ultimo è davvero pesante, gli altri invece sono abbastanza tranquilli ed è probabile che siano cose che hai già notato. Il problema non è difficile, solo magari un po' insolito per le olimpiadi (vedrai che la soluzione è molto corta).

[Salvador]

Grazie!
Ma come si mette il testo nascosto?

[Lasker]

Codice: Seleziona tutto

[spoiler]roba nascosta che non vuoi far vedere[/spoiler]

[Salvador]

Testo nascosto:

Grazie!

[Salvador]

c'è un famoso teorema di analisi 1 (che viene enunciato anche al liceo se non sbaglio, visto che serve a giustificare alcune cose del programma di quinta) che ci dice cose sulle funzioni continue su un intervallo chiuso?

Non lo so sono del classico e del quarto anno I teoremi di analisi non li ho mai studiati, anche perché mi sembra che compaia poco alle Olimpiadi, almeno quelle italiane.

[Salvador]

Come si chiama?

[Lasker]

Parlo del Teorema di Weierstrass! Se cerchi su google lo trovi subito!

In effetti ti sconsiglio di studiare analisi per le olimpiadi, questo problema è più un esercizio da libro di testo che di una gara; i problemi fino a cesenatico sono intesi come "possono essere risolti con le conoscenze del biennio" (ginnasio o come lo chiamate al classico ) e mi sa che pure alle gare internazionali l'analisi è malvista.

A questo punto però appena trovi la soluzione mettila in bella