come massimizzare l'area

[vmaestrella]

Tra tutti i trapezi isosceli con lato maggiore 13 e perimetro 28, determinare quello di area massima.
Quanto vale tale area?

[Salvador]

Testo nascosto:

La risposta è 27. Consideriamo un generico trapezio isoscele indicando con $B$ la base maggiore, $b$ la base minore, $l$ il lato obliquo, $p$ la proiezione di $l$ su $B$, $h$ l'altezza relativa a $B$. In base ai dati del problema si ha $B=13$ e $B+b+2l=28$. Per il teorema di Pitagora l'altezza si può scrivere come $h^2=l^2-p^2$, da cui applicando la sostituzione $p=\dfrac{B-b}{2}$, si ottiene $h^2=l^2-\left( \dfrac{B-b}{2}\right)^2=\left(l+\dfrac{B-b}{2}\right)\left(l-\dfrac{B-b}{2}\right)=1/4*(2l+B-b)(2l-B+b)=1/4*(28-2b)(28-26)=14-b$. Dunque il quadrato dell'area è $A^2=1/4*h^2*(B+b)^2=1/4*(14-b)(b+13)^2$. Questo polinomio è positivo in 0 e ha una sola radice in $R^+$, dunque esiste un unico punto di massimo in $[0,+\infty)$ e questo si ha per $b=5$, $A^2=729$, da cui si ha $A=27$.

[Bomberino98]

Come trovo il punto di massimo dopo questo ragionamento ?

[Salvador]

O guardi sul grafico o vai per tentativi (ad esempio provando $b=4$ trovi 722, $b=5$ dà 729 e $b=6$ 700, per cui concludi che tra gli interi il massimo è per $b=5$) oppure usi l'analisi.

[Bomberino98]

Ok grazie mille