[Febbraio 2017] Esercizio 9

[mr96]

Quante sono le coppie di numeri reali $(x,y)$ tali che $x+y^2=y^3$ e $y+x^2=x^3$?

(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9 (E) Infinite

Soluzione:

Testo nascosto:

La risposta è B. Scrivo tutto in funzione di $y$, ovvero $y+y^4(y-1)^2-y^6(y-1)^3=0$, noto che $y=0,\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ sono soluzioni, faccio la divisione e ottengo una cosa sempre negativa, non ci sono altre soluzioni reali.

[Salvador]

Come te ne accorgi delle ultime 2? Io non le ho trovate.

[DottMax]

L'argomento da utilizzare è quello della simmetria delle due equazioni.
Per via del fatto che scambiando tra loro "x" e "y" da una equazione si ottiene l'altra, ciò significa che tra le soluzioni ci sono sicuramente quelle per cui x=y.
Se si sostituisce "y" alla "x" nella prima equazione si ottiene una equazione di terzo grado da cui le soluzioni individuate. Ovviamente poi c'è da dimostrare che non ve ne siano altre.