Funzionale bulgara

[Ale99]

Trovare tutte le funzioni [tex]f:\mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+[/tex] tali che : [tex]\\ f(xy)=f(x+y)(f(x)+f(y)) \ \ \ \forall \ x,y \in\mathbb{Q}^+[/tex]

[Giovanni98]

Ok, finalmente.

Testo nascosto:

Poniamo per comodità di notazione $f(1)=c$. Dimostriamo che $f(1)=1$ oppure $f(1)=\frac{1}{2}$. Per prima cosa osserviamo che $f(2) = 1/2$, ponendo semplicemente $x=y=2$ e sfruttando il fatto che $f(x) \ne 0$. Ora, poniamo $y=1$ e poniamo $x=2,3,4,5$. Otteniamo che $$f(6) = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}c + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}c^3 + c^4}$$e $$f(5) = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}c + \frac{1}{2}c^2 + c^3}$$

A questo punto poniamo $x=2$ ed $y=3$ e notiamo che deve valere $$\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}c + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}c^3 + c^4} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}c + \frac{1}{2}c^2 + c^3}\left(\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+c} + \dfrac{1}{2} \right)$$che si riscrive come un'equazione di $5$ grado in $c$ che ha come soluzioni reali $-1,1,1/2$, ma poichè $f(x)>0 \forall x \in \mathbb{Q}^+$ devo considerare solo $1$ e $1/2$ come soluzioni.

Ora se $f(1)=1$ proseguo come prima (spero tu l'abbia letta, perchè non ho tanta voglia di riscriverla...). Se invece $f(1)=1/2$ allora banalmente per induzione si ottiene che $f(n) = 1/2$ per ogni $n$ intero positivo.

Ponendo ora $x = \dfrac{y}{y-1}$ dove $y$ è un intero positivo $>1$ ottengo che $f\left(\dfrac{y}{y-1}\right) = \dfrac{1}{2}$ e in linea generale $f\left(\dfrac{nx+1}{x}\right) = 1/2$. Poniamo ora $x=1$ e $y=1/z$ dove $z$ è un intero positivo, allora ottengo $f(1/z) = 1/2$. Adesso pongo $x \in \mathbb{Z}^+$ e $y=1/z$ dove $z \in \mathbb{Z}^+$, allora vale $$f(x/z) = f\left(\dfrac{1+xz}{z}\right)(f(x)+f(1/z))$$ora, sfruttando tutto ciò che abbiamo dimostrato si ha $f(x/z) = 1/2$ che quindi dimostra che l'unica soluzione in questo caso è $f(x)=1/2$ per ogni $x$ razionale positivo. Quindi le soluzioni sono $f(x)=1/x \forall x$ e $f(x)=1/2 \forall x$.

[Ale99]

A questo punto, ponendo $x=y=1$ nell'equazione del testo si ottiene, sfruttando (*), che $f(1)=1$.

Sicuro ? Anche perchè controesempio

Testo nascosto:

[tex]f(x)=\frac{1}{2} \ \ \ \forall x \in \mathbb{Q}^+[/tex]

[Giovanni98]

A questo punto, ponendo $x=y=1$ nell'equazione del testo si ottiene, sfruttando (*), che $f(1)=1$.

Sicuro ? Anche perchè controesempio

Testo nascosto:

[tex]f(x)=\frac{1}{2} \ \ \ \forall x \in \mathbb{Q}^+[/tex]

No ma me ne sono accorto subito, nella mia testa ho fatto qualche cosa strana. Comunque oggi scrivo la dimostrazione, corretta. Le soluzioni sono $1/2$ e $f(x)=1/x$.

[Ale99]

Yes, le soluzioni sono quelle e anche la dimostrazione é giusta e sostanzialmente identica alla mia ... Anche io lo ho trovato molto carino

[Giovanni98]

Comunque mi ha ricordato un vecchio ISL che si risolveva praticamente alla stessa maniera.

[Ale99]

Ah si ? Quale, che anno ?

[Giovanni98]

Non ricordo, ma era tanto vecchio quanto simile.