61'. Più facile, ma meno orrendo.

[Giovanni98]

Francesco ama i numeri americani e li vuole trovare tutti. Un numero intero positivo $n$ è detto americano se esistono $2n$ numeri reali non tutti uguali fra loro $x_1,\cdots,x_{2n}$ tali che la somma di $n$ qualunque di essi sia uguale al prodotto dei restanti $n$. Aiuta Francesco nel suo intento.

[Ale99]

Problema carino lasciato qui da troppo

Testo nascosto:

WLOG [tex]x_1 \neq x_2[/tex]
Notiamo che [tex]x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=x_{n+1}*x_{n+2}*\ldots*x_{2n}[/tex] e [tex]x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n-1}+x_{n+1}=x_{n}*x_{n+2}*x_{n+3}*\ldots*x_{2n}[/tex]
Sottraendo membro a membro otteniamo che [tex](x_{n}-x_{n+1})(x_{n+2}*x_{n+3}*\ldots*x_{2n}+1)=0[/tex]
Sfruttando il WLOG e reiterando questo procedimento ( sorry, but la voglia di scrivere tutto era poca ) otteniamo che
[tex]x_{n+2}*x_{n+3}*\ldots*x_{2n}=-1,x_{n+1}*x_{n+3}*x_{n+4}*\ldots*x_{2n}=-1[/tex] e dato che il prodotto di tutti i [tex]x_i[/tex] non fa [tex]0[/tex] otteniamo che [tex]x_{n+1}=x_{n+2}[/tex]
Reiterando ancora il procedimento di sopra otteniamo che [tex]x_3= \ldots =x_{2n} = -1[/tex] che unito alle precedenti informazioni ci da [tex]n[/tex] pari
Abbiamo ora [tex]x_1+x_2=n-1[/tex] e [tex]x_1x_2=-n[/tex] da cui [tex]x_1=n,x_2=-1[/tex] che soddisfa

Scusate i passaggi saltati, fonte ?

[Giovanni98]

Ok. La fonte è APMO 2016.