somma di coppie dispari

[vmaestrella]

Quanto vale la somma
1 x 3 - 5 x 7 + 9 x 11 – 13 x 15 + ….. – 2005 x
2007+2009x2011 ?

[Flaffo]

Sia $S$ la somma

$S= 1 \cdot 3 - 5\cdot 7 +..... +2009 \cdot 2011$


$( 2n+1)(2n-1) = 4 n^2 -1$

Possiamo quindi riscrivere la somma come:

$ S=4 ( 1^2 - 3^2 + 5^2 +.....+ 1005^2) -1$

Raggruppando a due a due i termini, escludendo 1:

$ S=4( 1 +( 5^2- 3^2) + (9^2-7^2).... + (1005^2-1003^2))-1$

E per ogni coppia la differenza vale:

$ (2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$

Da cui abbiamo:

$S= 4 ( 1+ 16 ( 1+2+....251))-1= 4 ( 1+ 8 \cdot 252 \cdot 251) -1 = 2024067$

[CosecantofPi]

Sia $S$ la somma

$S= 1 \cdot 3 - 5\cdot 7 +..... +2009 \cdot 2011$


$( 2n+1)(2n-1) = 4 n^2 -1$

Possiamo quindi riscrivere la somma come:

$ S=4 ( 1^2 - 3^2 + 5^2 +.....+ 1005^2) -1$

Raggruppando a due a due i termini, escludendo 1:

$ S=4( 1 +( 5^2- 3^2) + (9^2-7^2).... + (1005^2-1003^2))-1$

E per ogni coppia la differenza vale:

$ (2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$

Da cui abbiamo:

$S= 4 ( 1+ 16 ( 1+2+....251))-1= 4 ( 1+ 8 \cdot 252 \cdot 251) -1 = 2024067$

Non capisco il passaggio : $S=4 ( 1^2 - 3^2 + 5^2 +.....+ 1005^2) -1$ ... Non dovrebbe essere tutto elevato al quadrato anziche i singoli elementi?