62. Carino e fattibile

[Ale99]

Trovare tutte le funzioni [tex]f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}[/tex] tali che
[tex]\begin{equation} f(f(x)+xf(y))=x+yf(x) \end{equation}[/tex]
per ogni coppia di numeri razionali [tex]x,y[/tex]

[Giovanni98]

Bello.

Testo nascosto:

Fatto 1 : $f(0)=0$.
Dimostrazione : Pongo $x=0$ nell'equazione del testo. Così facendo ottengo $f(f(0)) = yf(0)$. Ora, LHS è costante mentre RHS non lo è se $f(0)\ne0$, assurdo. Ne consegue la tesi del FATTO 1.

Fatto 2 : $f(f(x))=x$ per ogni $x$ razionale.
Dimostrazione : Pongo $y=0$. Ottengo $f(f(x)+xf(0)) = x$, ma grazie al FATTO 1 ho che $f(f(x)+xf(0))=f(f(x))$ da cui $f(f(x))=x$.

Fatto 3 : $f(1)=1$.
Dimostrazione : Poniamo $f(a)=1$, per il Fatto 2 si ha che $f(1)=a$. Ora poniamo $x=y=1$, otteniamo così $f(2a)=1+a$ che per il Fatto 2 implica $f(1+a)=2a$. Ora però poniamo $x=1$ ed $y=a$. Così facendo otteniamo $f(a+1) = 1+a^2$. Poichè per il Fatto 2 $f$ è iniettiva si deve avere $1+a^2=2a \iff a=1$ da cui $f(1)=1$.

Fatto 4 : $f(n) = n$ per ogni intero $n$.
Dimostrazione : Pongo $x=1$ nell'equazione del testo. Ottengo $f(1+f(y)) = 1+y$. Ponendo ora $y=f(z)$ (per la surgettività di $f$ per ogni $y$ razionale ne esiste un corrispondente $z$ razionale tale che $y=f(z)$ quindi non si perde alcuna generalità) ottengo $f(1+z)=1+f(z)$. A questo punto basta una banale induzione.

Fatto 5 : $f(n)=n$ per ogni razionale $n$.
Dimostrazione : Pongo $f(y) = \dfrac{m}{x}$ con $m$ numero intero. A questo punto ho che l'argomento della $f$ di sinistra è un numero intero, e quindi $f(f(x) + xf(y)) = f(x)+xf(y) = x+m = x+yx \Rightarrow y = \dfrac{m}{x}$. Ora chiaramente variando $m$ ed $x$ otteniamo tutti i numeri razionali, quindi la tesi del Fatto 5 è dimostrata.

Combinando tutte le informazioni ottenute si ottiene che l'unica $f$ che risolve l'equazione è $f(x)=x$ per ogni $x$ razionale.

[Ale99]

Bella, uguale alla mia ... puoi andare col prossimo ...

[Giovanni98]

Fonte?

[Veritasium]

Fonte?

Giovanni, ma non hai risolto questo problema in gara?

[Giovanni98]

Fonte?

Giovanni, ma non hai risolto questo problema in gara?

A quanto pare si ahahahah

[Ale99]

Ah, ma quindi l'anno scorso tu eri al WC ?

[Giovanni98]

Ah, ma quindi l'anno scorso tu eri al WC ?

Si, questo almeno lo ricordo ahaha

[Ale99]

E, se posso chiedere, come ti è andato il bst ?

[Giovanni98]

E, se posso chiedere, come ti è andato il bst ?

Feci non schifo, ma di piú