Dimostare che per ogni [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] si ha che [tex]\left ( \sqrt{3} \right )(^{n})^{2} \geq n![/tex]
P.S Radice di 3 è elevato alla n²
Induzione
Re: Induzione
Applicando l'induzione che Benny suggerisce...
Ricordiamo la (ovvia) cosa che se $a>b$ e $c>d$ allora $ac>bd$.
Supponiamo che la disuguaglianza sia valida per n e dimostriamo che è valida per n+1. Possiamo scrivere l'espressione per n+1 come $(\sqrt 3)^{n^2+2n+1}\ge n!*(n+1)$, ovvero $(\sqrt 3)^{n^2} * (\sqrt 3)^{2n+1} \ge n!*(n+1)$. Per ipotesi sappiamo che il primo fattore è maggiore o uguale al terzo: se dimostriamo che il secondo è maggiore o uguale al quarto allora per quella "cosa" che abbiamo citato sopra la disuguaglianza è valida per n+1.
Osserviamo che possiamo scrivere la disuguaglianza tra secondo e quarto fattore, elevandoli al quadrato, come $3^{2n+1}\ge (n+1)^2$. Applichiamo l'induzione anche su questa disuguaglianza: per n=0 si ha $3>1$. Per n+1 si ha $3^{2n+1+2}\ge (n+1)^2 + 2(n+1) + 1$, ovvero $9 * 3^{2n+1} \ge (n+1)^2 * m$, dove $m=\dfrac{(n+2)^2}{(n+1)^2}\le 4$, quindi per quella "cosa" di prima la disuguaglianza è vera anche per n+1 e per induzione lo è per ogni n naturale, pertanto è vera anche $(\sqrt 3)^{2n+1} > n+1$, quindi per quella "cosa" è vera anche la disuguaglianza di partenza per n+1.
Per n=0 si ha $1\ge1$, che è certamente vera, dunque per induzione la disuguaglianza è vera per ogni naturale n.
Ricordiamo la (ovvia) cosa che se $a>b$ e $c>d$ allora $ac>bd$.
Supponiamo che la disuguaglianza sia valida per n e dimostriamo che è valida per n+1. Possiamo scrivere l'espressione per n+1 come $(\sqrt 3)^{n^2+2n+1}\ge n!*(n+1)$, ovvero $(\sqrt 3)^{n^2} * (\sqrt 3)^{2n+1} \ge n!*(n+1)$. Per ipotesi sappiamo che il primo fattore è maggiore o uguale al terzo: se dimostriamo che il secondo è maggiore o uguale al quarto allora per quella "cosa" che abbiamo citato sopra la disuguaglianza è valida per n+1.
Osserviamo che possiamo scrivere la disuguaglianza tra secondo e quarto fattore, elevandoli al quadrato, come $3^{2n+1}\ge (n+1)^2$. Applichiamo l'induzione anche su questa disuguaglianza: per n=0 si ha $3>1$. Per n+1 si ha $3^{2n+1+2}\ge (n+1)^2 + 2(n+1) + 1$, ovvero $9 * 3^{2n+1} \ge (n+1)^2 * m$, dove $m=\dfrac{(n+2)^2}{(n+1)^2}\le 4$, quindi per quella "cosa" di prima la disuguaglianza è vera anche per n+1 e per induzione lo è per ogni n naturale, pertanto è vera anche $(\sqrt 3)^{2n+1} > n+1$, quindi per quella "cosa" è vera anche la disuguaglianza di partenza per n+1.
Per n=0 si ha $1\ge1$, che è certamente vera, dunque per induzione la disuguaglianza è vera per ogni naturale n.