Disuguaglianza Senior Basic

[DrJekyll00]

Determinare il minimo di [tex]x+8y+4z[/tex] con [tex]x,y,z[/tex] reali positivi sapendo che [tex]\frac{4}{x}+\frac{2}{y}+z=3[/tex].

[DrJekyll00]

Qualche hint? Ho provato a ridurlo a disuguaglianze tra medie ma non mi viene...

[Lasker]

Prova a scrivere $x+8y+4z\geq f(z)$ sfruttando il vincolo e le disuguaglianze note, dove $f$ è abbastanza bella da poterla studiare nell'intervallo $[0;3]$ (insomma, stima solo $x+8y$ inizialmente).

Testo nascosto:

$f(z)=\frac{36}{3-z}+4z$ (usando ad esempio il lemma di Titu), che è una funzione omografica più una retta in $z$, in particolare ti puoi accorgere che è crescente in $[0;3]$ e quindi $z$ lo fai tendere a zero... se non ho sbagliato i conti il minimo (non è proprio un minimo, perché non si può raggiungere, ma solo avvicinarcisi a piacere rendendo $z$ piccolo e mantenendo $x$ e $y$ in rapporto $4:1$) dovrebbe verificarsi in $(4,1,0)$, il valore di questo "minimo" (è un $\inf$...) è $12$

[Luke99]

Come hai applicato Titu per passare da [tex]x+8y[/tex] a [tex]\frac{36}{3-z}[/tex]?

[0004POWER]

Modificato per impedirvi di vedere il mio errore madornale

[Luke99]

[tex]\frac{4}{x} ×4[/tex] non fa [tex]x[/tex]

[0004POWER]

Hai ragione, mi sembrava troppo semplice il problema in effetti

[Lasker]

$$x+8y=\frac{4}{\frac{4}{x}}+\frac{16}{\frac{2}{y}}\geq \frac{(2+4)^2}{\frac{4}{x}+\frac{2}{y}}=\frac{36}{3-z}$$

[Luke99]

Capito grazie