Definiamo una sequenza $f(1), f(2), \dots, f(i), \dots$ di interi positivi dove $f$ è calcolata, per ogni $n$ intero positivo, al seguente modo:
$f(1)=1$
$f(n)=\begin{cases} f(n-1)-n & \mbox{se }f(n-1)>n \\ f(n-1)+n & \mbox{se }f(n-1) \le n
\end{cases}$
per $n \ge 2$.
Sia $S= \left\{ n \in \mathbb{N} | f(n)=a \right\}$ dove $a$ è un intero positivo dato.
(i) Mostrare che $S$ ha infiniti elementi.
(ii) Siano $n_1<n_2<n_3<\dots$ gli elementi di $S$. Mostrare che $\displaystyle \lim_{j \rightarrow \infty} \frac{n_{i+1}}{n_i}=3$.
(iii) Calcolare $n_1$ per $a=2017$.
L[04] Contoso, ma anche bello
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L[04] Contoso, ma anche bello
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
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Re: L[04] Contoso, ma anche bello
Provo la soluzione del primo e nel dubbio chiedo un hint per gli altri punti (non c'ho ancora provato ma non mi sembrano troppo immediati)
Testo nascosto:
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Re: L[04] Contoso, ma anche bello
In soldoni è giusta, però devo dire che mi sono un po' perso nei tuoi passaggi. Allora, correzione al volo:
- non poni nessun limite su $h$, eppure sai che prima o poi la funzione troverà un $k'$ tale che $f(k')=1$, quindi i numeri che tu consideri prima o poi si fermeranno (per poi ricominciare). L'hai detto, ma è meglio esprimerlo anche matematicamente;
- i passaggi sono spiegati brevemente o non spiegati: le formule date dalle ipotesi devono essere scritte e deve essere spiegato perché valgono in questo o in quel caso, sinceramente non avevo voglia di stare a verificare che ogni formula venisse da quelle, e credimi che potresti trovare un correttore che, poiché non hai spiegato ogni cosa dettagliatamente, non te lo valuti;
- dai per scontato che $f(k+x+1)>f(k+x)$ quando $x$ è dispari, ma non lo dimostri. L'hai più o meno indotto nei passaggi successivi, che mantengono questa relazione, ma comunque senza un caso base non è sufficiente.
Per il resto, a meno di errori che non ho visto, se quello che fai è giusto e l'hai verificato allora è corretta, solo un po' confusionaria e con qualche mancanza, ecco tutto.
Per il punto (ii): da un certo punto in poi ti devi preoccupare solo di $f(k+pari)$ (perché?), a questo punto ti serve una formula esplicita; spiego meglio: da un certo punto in poi $n_i$ e $n_{i+1}$ saranno dati uno da un certo $k$ e uno dal successivo perché ci sarà esattamente un valore buono per ogni $k$ tale che $f(k)=1$, quindi fissato un $k$ ti trovi il relativo $h=g(k, a)$ che funziona e sai quant'è il relativo $n_i$, analogamente ti trovi il successivo. Dopo è tutta algebra e rimaneggiamenti per far venire fuori la cosa che vuoi. L'unico problema è che devi riuscire a esplicitarti $h$, che con quello che dici in fondo dovresti riuscire a fare. Ah, e dovresti riuscire a trovarti anche il $k$ successivo, o in generale l'$m$-esimo $k$ in funzione di $m$. Sì, lo ammetto, questa è la parte più contosa di tutto il problema, ma è anche bella!
Il punto (iii) è veramente semplice, si ragiona con un po' di disuguaglianze e tentativi, ma mi sa che come sopra ti conviene avere una formula che ti generi tutti i $k$, altrimenti non sai dove andare a cercare!
- non poni nessun limite su $h$, eppure sai che prima o poi la funzione troverà un $k'$ tale che $f(k')=1$, quindi i numeri che tu consideri prima o poi si fermeranno (per poi ricominciare). L'hai detto, ma è meglio esprimerlo anche matematicamente;
- i passaggi sono spiegati brevemente o non spiegati: le formule date dalle ipotesi devono essere scritte e deve essere spiegato perché valgono in questo o in quel caso, sinceramente non avevo voglia di stare a verificare che ogni formula venisse da quelle, e credimi che potresti trovare un correttore che, poiché non hai spiegato ogni cosa dettagliatamente, non te lo valuti;
- dai per scontato che $f(k+x+1)>f(k+x)$ quando $x$ è dispari, ma non lo dimostri. L'hai più o meno indotto nei passaggi successivi, che mantengono questa relazione, ma comunque senza un caso base non è sufficiente.
Per il resto, a meno di errori che non ho visto, se quello che fai è giusto e l'hai verificato allora è corretta, solo un po' confusionaria e con qualche mancanza, ecco tutto.
Per il punto (ii): da un certo punto in poi ti devi preoccupare solo di $f(k+pari)$ (perché?), a questo punto ti serve una formula esplicita; spiego meglio: da un certo punto in poi $n_i$ e $n_{i+1}$ saranno dati uno da un certo $k$ e uno dal successivo perché ci sarà esattamente un valore buono per ogni $k$ tale che $f(k)=1$, quindi fissato un $k$ ti trovi il relativo $h=g(k, a)$ che funziona e sai quant'è il relativo $n_i$, analogamente ti trovi il successivo. Dopo è tutta algebra e rimaneggiamenti per far venire fuori la cosa che vuoi. L'unico problema è che devi riuscire a esplicitarti $h$, che con quello che dici in fondo dovresti riuscire a fare. Ah, e dovresti riuscire a trovarti anche il $k$ successivo, o in generale l'$m$-esimo $k$ in funzione di $m$. Sì, lo ammetto, questa è la parte più contosa di tutto il problema, ma è anche bella!
Il punto (iii) è veramente semplice, si ragiona con un po' di disuguaglianze e tentativi, ma mi sa che come sopra ti conviene avere una formula che ti generi tutti i $k$, altrimenti non sai dove andare a cercare!
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Re: L[04] Contoso, ma anche bello
1)Grazie della correzione, so che è molto pesante come soluzione, me ne sono accorto mentre scrivevo io stesso quindi alcuni conti li ho saltati totalmente o buttati lì senza starci troppo a spiegarli, la cosa che mi preme di più è cercare di renderla più valida proprio a livello matematico, sicuramente a quel punto risulterà più scorrevole
2)Grazie degli hint
2)Grazie degli hint
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Re: L[04] Contoso, ma anche bello
Prego!
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