Dalla seconda prova di matematica di oggi.
Testo nascosto:
Vietato derivare!
Vietato derivare!
Una torta di forma cilindrica è collocata sotto una cupola di plastica di forma semisferica. Dimostrare che la torta occupa meno dei $ \displaystyle \frac{3}{5}$ del volume della semisfera.
Dalla seconda prova di matematica di oggi.
Dalla seconda prova di matematica di oggi.
Re: Vietato derivare!
GM-QM!
Sia $h$ l'altezza del cilindro, $r$ il suo raggio e $R$ il raggio della semisfera. Il volume del cilindro è $V_c=\pi hr^2$, mentre il volume della semisfera è $V=\frac{2}{3}\pi R^3$.
Applichiamo la disuguaglianza GM-QM a $\left (\dfrac{r}{\sqrt{2}},\dfrac{r}{\sqrt{2}},h \right )$:
[tex]^3 \sqrt{\dfrac{r}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{r}{\sqrt{2}} \cdot h} \le \sqrt{\dfrac{2\cdot (r/\sqrt{2})^2+h^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{r^2+h^2}{3}}[/tex]
Inoltre per il teorema di pitagora: $h^2+r^2=R^2$:
[tex]^3 \sqrt{\dfrac{r^2h}{2}} \le \dfrac{R}{\sqrt{3}}[/tex]
[tex]\pi \dfrac{r^2h}{2} \le \pi \dfrac{R^3}{3\sqrt{3}}[/tex]
[tex]V_c \le \dfrac{V}{\sqrt{3}}< \dfrac{3}{5}V[/tex]
Peccato non averci pensato durante la prova
Sia $h$ l'altezza del cilindro, $r$ il suo raggio e $R$ il raggio della semisfera. Il volume del cilindro è $V_c=\pi hr^2$, mentre il volume della semisfera è $V=\frac{2}{3}\pi R^3$.
Applichiamo la disuguaglianza GM-QM a $\left (\dfrac{r}{\sqrt{2}},\dfrac{r}{\sqrt{2}},h \right )$:
[tex]^3 \sqrt{\dfrac{r}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{r}{\sqrt{2}} \cdot h} \le \sqrt{\dfrac{2\cdot (r/\sqrt{2})^2+h^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{r^2+h^2}{3}}[/tex]
Inoltre per il teorema di pitagora: $h^2+r^2=R^2$:
[tex]^3 \sqrt{\dfrac{r^2h}{2}} \le \dfrac{R}{\sqrt{3}}[/tex]
[tex]\pi \dfrac{r^2h}{2} \le \pi \dfrac{R^3}{3\sqrt{3}}[/tex]
[tex]V_c \le \dfrac{V}{\sqrt{3}}< \dfrac{3}{5}V[/tex]
Peccato non averci pensato durante la prova
-
Gerald Lambeau
- Messaggi: 920
- Iscritto il: 07/01/2015, 18:18
Re: Vietato derivare!
Un'altra così, tanto per fare.
Raggio della cupola $r$, quindi raggio della torta $xr$ con $0 \le x \le 1$. Il volume della cupola è ovviamente $\displaystyle \frac{2}{3} \pi r^3$.
Ora si nota che il volume massimo della torta, fissato $x$, è quando la sua altezza la fa arrivare a toccare la cupola; se la torta non è centrata con la cupola, spostarla ci permette di alzarla ancora. Alla fine, l'altezza massima possibile è, guardando una sezione verticale a metà della cupola e per Pitagora, $\sqrt{r^2-r^2x^2}$. Vogliamo dunque $\displaystyle x^2r^2 \pi \sqrt{r^2-r^2x^2} < \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} r^3 \pi$. Semplifichiamo e otteniamo $\displaystyle x^2\sqrt{1-x^2}<\frac{2}{5}$. Notando la bellissima biettività di $x^2$ in $[0, 1]$ sostituiamo $x^2=z, 0 \le z \le 1$, eleviamo al quadrato e vogliamo che $\displaystyle z^2(1-z) < \frac{4}{25}$, ma noi siamo fighi e mostriamo che $\displaystyle z^2-z^3 \le \frac{4}{27}<\frac{4}{25}$.
Dunque $27z^3-27z^2+4 \ge 0$ (almeno per $0 \le z \le 1$). È abbastanza facile notare che ciò equivale a dire $(3z-2)^2(3z+1) \ge 0$ ed essendo $0 \le z \le 1$ direi che abbiamo concluso.
Raggio della cupola $r$, quindi raggio della torta $xr$ con $0 \le x \le 1$. Il volume della cupola è ovviamente $\displaystyle \frac{2}{3} \pi r^3$.
Ora si nota che il volume massimo della torta, fissato $x$, è quando la sua altezza la fa arrivare a toccare la cupola; se la torta non è centrata con la cupola, spostarla ci permette di alzarla ancora. Alla fine, l'altezza massima possibile è, guardando una sezione verticale a metà della cupola e per Pitagora, $\sqrt{r^2-r^2x^2}$. Vogliamo dunque $\displaystyle x^2r^2 \pi \sqrt{r^2-r^2x^2} < \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} r^3 \pi$. Semplifichiamo e otteniamo $\displaystyle x^2\sqrt{1-x^2}<\frac{2}{5}$. Notando la bellissima biettività di $x^2$ in $[0, 1]$ sostituiamo $x^2=z, 0 \le z \le 1$, eleviamo al quadrato e vogliamo che $\displaystyle z^2(1-z) < \frac{4}{25}$, ma noi siamo fighi e mostriamo che $\displaystyle z^2-z^3 \le \frac{4}{27}<\frac{4}{25}$.
Dunque $27z^3-27z^2+4 \ge 0$ (almeno per $0 \le z \le 1$). È abbastanza facile notare che ciò equivale a dire $(3z-2)^2(3z+1) \ge 0$ ed essendo $0 \le z \le 1$ direi che abbiamo concluso.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
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