successioni che dipendono da n

[matpro98]

Prova a fare i primi casi a mano con $a_0$ generico e osserva cosa ottieni

[Gerald Lambeau]

Facendo come dice matpro98 si capisce bene, io l'ho capito così cosa volevo andare a dimostrare, una volta che lo sai credo che l'induzione sia la via più pulita di dimostrarlo (come in tutte le successioni, del resto XD).
Ovvio che una costante non funziona, quella cosa cresce, se supponi $a_i=c$ costante hai che $2c=\dfrac{n}{2}$ per ogni $n$, il che è un tantinello assurdo. Se vuoi trovare una soluzione particolare, prova ad esempio con $a_0=0$: per quello che succede ad $a_0$, ti basterà aggiungere un $(-1)^n$ dopo che hai fatto tutti i conti.

[Federico II]

Forse quello che Luke99 intendeva era come applicare a questo esercizio la teoria generale per risolvere successioni di questo tipo. Qui si tratta di definire una nuova successione $b_n$ in modo che soddisfi la stessa relazione ma senza il $+\frac{n}{2}$ alla fine (ed eventualmente con un valore iniziale diverso), in modo da avere una serie geometrica. Visto che bisogna togliersi un $+\frac{n}{2}$, per trovare $b_n$ bisognerà shiftare $a_n$ di un polinomio di primo grado in $n$. Se provi a farlo con un polinomio di primo grado generico e sostituisci per trovare i coefficienti, ti accorgi che puoi riscrivere la relazione per ricorrenza come $a_n-\frac{n}{4}-\frac{1}{8}=-\left(a_{n-1}-\frac{n-1}{4}-\frac{1}{8}\right)$. Posto dunque $b_n=a_n-\frac{n}{4}-\frac{1}{8}$, questa nuova successione soddisfa $b_n=-b_{n-1}$ e, visto che $a_0=1$, $b_0=\frac{7}{8}$. Avrai quindi $b_n=\frac{7}{8}(-1)^n$, e di conseguenza $a_n=\frac{7}{8}(-1)^n+\frac{n}{4}+\frac{1}{8}$. Se vedi i casi pari e dispari ti accorgi che questa formula è equivalente a $(-1)^n+\frac{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}{2}$ (ma in realtà non è necessario accorgersene, anche l'altra è una formula chiusa e quindi risolve la successione).

[Luke99]

Si era proprio quello che intendevo, avevo provato anche con il polinomio di primo grado per la soluzione particolare ma poi a moltiplicare [tex]{-1}^n[/tex] avevo trovato un [tex]\frac{5}{8}[/tex], spero sia dovuto ad un errore di calcolo e non a altro comunque grazie, non capivo come le due cose potessero essere equivalenti ma ora ci sono

[Luke99]

Rilancio con questa [tex]a_n=\frac{1}{2}a_{n-1}+\frac{1}{n}[/tex] con [tex]a_0=0[/tex] mi servirebbe capire anche i passaggi perché non capisco come é fatta la soluzione particolare

[Luke99]

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